Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Obciążenie publikacyjne oznacza:

APublikowanie przez czasopisma wyłącznie badań jakościowych
BWiększe prawdopodobieństwo publikacji badań z wynikami istotnymi niż z wynikami zerowymi
CFaworyzowanie przez recenzentów prac autorów ze słynnych uczelni kosztem mniej znanych
DDwukrotne publikowanie tego samego badania przez badaczy

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badaczka porównuje trzy lub więcej średnich grupowych. Dlaczego stosuje jednoczynnikową analizę wariancji zamiast kilku testów t?

AWiele testów t zawyża łączne prawdopodobieństwo błędu I rodzaju
BANOVA zawsze wykrywa większe efekty niż odpowiadający jej zestaw testów t
CTesty t nie radzą sobie z liczbami powyżej 100
DTesty t wymagają danych jakościowych

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 51, 36, 32, 41, 44, 30.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 182?

μ = 170σ = 8x = 182

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,35, 0,15

Var(X) =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 9p = 0,5

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,5705. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,5705

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 40% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 21,5 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 15x̄ = 21,5s = 8,595%t(14) = 2,145

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 16E = 2,595%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

16 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 10,36, a odchylenie standardowe różnic 10,9. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 10,36s_d = 10,9

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 5. W rzeczywistości średnia wynosi 500,85. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 500μ = 500,85σ = 5n = 100α = 0,05

1 − β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 25,5.

n = 6x = 25,5

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „zmiana dzienna, drobna”.

suma wiersza = 51suma kolumny = 39N = 116

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 3 wierszach i 5 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?

3 × 5

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Większe prawdopodobieństwo publikacji badań z wynikami istotnymi niż z wynikami zerowymi

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy badania z wynikami nieistotnymi zostają w szufladach, opublikowana literatura przeszacowuje wielkości efektów, co zniekształca metaanalizy.

Odpowiedź

B · Większe prawdopodobieństwo publikacji badań z wynikami istotnymi niż z wynikami zerowymi

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Wiele testów t zawyża łączne prawdopodobieństwo błędu I rodzaju

Dlaczego to jest odpowiedź

Wiele testów parami mnoży szansę na fałszywie pozytywny wynik. ANOVA testuje wszystkie grupy razem, a po niej wykonuje się skorygowane testy post hoc.

Odpowiedź

A · Wiele testów t zawyża łączne prawdopodobieństwo błędu I rodzaju

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,726

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 286/7 = 40,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 11,14² + 10,14² + (−4,857)² + (−8,857)² + 0,1429² + 3,143² + (−10,86)² = 456,9

Odchylenie standardowe

s = √(456,9/6) = 8,726

Odpowiedź

s = 8,726

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 3,79

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,15 = 2,9

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,15 = 12,2

Wariancja

Var(X) = 12,2 − 2,9² = 3,79

Odpowiedź

Var(X) = 3,79

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,01953

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Dodaj

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Odpowiedź

P = 0,01953

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,79

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,5705)/2 = 0,7852

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,7852 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,79

Odpowiedź

z = 0,79

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 510 h

Pole po lewej

Φ(z) = 0,6

z z tablicy

z ≈ 0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 0,25·40 = 510 h

Odpowiedź

x = 510 h

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,708

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margines błędu

E = 2,145·8,5/√15 = 4,708

Odpowiedź

E = 4,708

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 158

Wyznacz n

n = (1,96·16/2,5)² = 157,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 158

Odpowiedź

n = 158

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 3,802

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 10,9/√16 = 2,725

Statystyka testowa

t = 10,36/2,725 = 3,802

Odpowiedź

t = 3,802

Przy df = 15 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,131; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 52,19 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 + 1,645·0,5 = 500,8

z przy prawdziwej średniej

z = (500,8 − 500,85)/0,5 = −0,055

Moc

moc = P(Z > −0,055) = 52,19%

1 − β = 52,19%

Odpowiedź

1 − β = 52,19%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9862

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 62/6 = 10,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 171,3

Współczynnik korelacji

r = 108/√(70·171,3) = 0,9862

Odpowiedź

r = 0,9862

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 66,66

Średnie

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 359/6 = 59,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 358,5

Prosta regresji

b = 358,5/157,5 = 2,276

a = 59,83 − 2,276·22,5 = 8,619

ŷ = 8,619 + 2,276·x

Prognoza

ŷ = 8,619 + 2,276·25,5 = 66,66

Odpowiedź

ŷ = 66,66

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 17,15

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 51·39/116 = 17,15

Odpowiedź

E = 17,15

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 8

Stopnie swobody

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Odpowiedź

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology