Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Charakterystyki żądania (demand characteristics) to:
- AFormalne wymagania, jakie komisja etyczna stawia przed rozpoczęciem badania
- BWskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie
- CStatystyczne założenia testu
- DCechy próby
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Pacjenci wybrani ze względu na skrajnie wysokie wyniki lęku uzyskują niższe wyniki w drugim pomiarze, nawet bez leczenia. Jakie jest najbardziej prawdopodobne wyjaśnienie?
- AEfekt sufitowy
- BEfekt Hawthorne
- CRównoważenie kolejności
- DRegresja do średniej
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 46, 58, 51, 19.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 182?
μ = 170σ = 12x = 182
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 4
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 10p = 0,2k = 3
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 117,8 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 60% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 45,5 i odchylenie standardowe s = 20. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 11x̄ = 45,5s = 2099%t(10) = 3,169
dolna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 20E = 299%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 493,5 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 493,5s = 15n = 36
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 2 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 17. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 90%δ = 2σ = 17zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 30Σy = 283Σx² = 220Σy² = 17013Σxy = 1896
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „miasto, średni”.
suma wiersza = 68suma kolumny = 36N = 146
E =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 5 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Wskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie
Dlaczego to jest odpowiedź
Gdy uczestnicy domyślą się hipotezy, mogą działać tak, by ją potwierdzić lub podważyć, co zagraża trafności. Ogranicza to wprowadzanie w błąd i procedury ślepej próby.
Odpowiedź
B · Wskazówki, dzięki którym uczestnicy odgadują cel i zmieniają zachowanie
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Regresja do średniej
Dlaczego to jest odpowiedź
Gdy osoby wybiera się ze względu na skrajne wyniki, błąd pomiaru i przypadek sprawiają, że ich późniejsze wyniki zwykle przesuwają się ku średniej. Grupy kontrolne pomagają oddzielić to od efektów leczenia.
Odpowiedź
D · Regresja do średniej
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,81
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 188/5 = 37,6
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−23,6)² + 8,4² + 20,4² + 13,4² + (−18,6)² = 1569
Odchylenie standardowe
s = √(1569/4) = 19,81
Odpowiedź
s = 19,81
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,8413
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5177
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Odpowiedź
P = 0,5177
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2013
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 120·0,23·0,87 = 120·0,008·0,2097 = 0,2013
Odpowiedź
P = 0,2013
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,02275
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaryzuj
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Górny ogon
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 490 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,4
z z tablicy
z ≈ −0,25
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Odpowiedź
x = 490 h
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 26,39
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margines błędu
E = 3,169·20/√11 = 19,11
Przedział
45,5 ± 19,11 → [26,39, 64,61]
Odpowiedź
dolna granica = 26,39
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 664
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·20/2)² = 663,6
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 664
Odpowiedź
n = 664
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statystyka testowa
t = (493,5 − 500)/2,5 = −2,6
Odpowiedź
t = −2,6
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 619
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((1,645 + 1,282)·17/2)² = 619
Zaokrąglij w górę
n = 619
Odpowiedź
n = 619
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9924
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 1896 − 30·283/5 = 198
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 17013 − 283²/5 = 995,2
Współczynnik korelacji
r = 198/√(40·995,2) = 0,9924
Odpowiedź
r = 0,9924
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 6,595
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 103/6 = 17,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185
Prosta regresji
b = 185/70 = 2,643
a = 17,17 − 2,643·7 = −1,333
ŷ = −1,333 + 2,643·x
Prognoza
ŷ = −1,333 + 2,643·3 = 6,595
Odpowiedź
ŷ = 6,595
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: E = 16,77
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebność oczekiwana
E = 68·36/146 = 16,77
Odpowiedź
E = 16,77
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ²crit = 9,488
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
Tabela
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Odpowiedź
χ²crit = 9,488
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology