Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Tych samych 25 uczestników wykonuje test pamięci przed przyjęciem kofeiny i po nim. Wyniki są interwałowe i mają rozkład zbliżony do normalnego. Który test jest odpowiedni?

ATest chi-kwadrat
BTest t dla prób zależnych
CTest U Manna–Whitneya
DTest t dla prób niezależnych

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie raportuje t(28) = 2,50, p = .018 dla dwóch niezależnych grup równej wielkości. Ilu uczestników wzięło udział?

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 37, 54, 36, 53, 27, 16, 43.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 88.

μ = 100σ = 15x = 88

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 7k = 5

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 5p = 0,25k = 1

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 164 a 179,4 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 179,4

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 70% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 13 elementów ma średnią 111,5 i odchylenie standardowe s = 18,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 13x̄ = 111,5s = 18,595%t(12) = 2,179

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 12E = 190%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 77,63 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,63s = 5n = 16

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 8E = 1,590%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 88?

n = 6ŷ = 88

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „miasto, wysoki”.

suma wiersza = 91suma kolumny = 53N = 180

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 6 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Test t dla prób zależnych

Dlaczego to jest odpowiedź

Test t dla prób zależnych porównuje średnie tych samych uczestników w dwóch warunkach, wykorzystując różnice u każdej osoby.

Odpowiedź

B · Test t dla prób zależnych

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · 30

Dlaczego to jest odpowiedź

28 stopni swobody oznacza 28 + 2 = 30 uczestników, po 15 w każdej grupie.

Odpowiedź

D · 30

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,64

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 266/7 = 38

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 16² + (−2)² + 15² + (−11)² + (−22)² + 5² = 1116

Odchylenie standardowe

s = √(1116/6) = 13,64

Odpowiedź

s = 13,64

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,8

Standaryzuj

z = (88 − 100)/15 = −0,8

Odpowiedź

z = −0,8

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 21

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Odpowiedź

N = 21

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3955

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 5·0,25¹·0,75⁴ = 5·0,25·0,3164 = 0,3955

Odpowiedź

P = 0,3955

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5565

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Pole pomiędzy

P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565

Odpowiedź

P = 0,5565

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 181,6 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,7

z z tablicy

z ≈ 0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Odpowiedź

x = 181,6 cm

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 122,7

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Margines błędu

E = 2,179·18,5/√13 = 11,18

Przedział

111,5 ± 11,18 → [100,3, 122,7]

Odpowiedź

górna granica = 122,7

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 390

Wyznacz n

n = (1,645·12/1)² = 389,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 390

Odpowiedź

n = 390

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,104

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statystyka testowa

t = (77,63 − 75)/1,25 = 2,104

Odpowiedź

t = 2,104

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 77

Wyznacz n

n = (1,645·8/1,5)² = 76,97

Zaokrąglij w górę

n = 77

Odpowiedź

n = 77

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8384

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 320/6 = 53,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 353,3

Współczynnik determinacji

r² = 72²/(17,5·353,3) = 0,8384

Odpowiedź

r² = 0,8384

Około 83,84% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 7,922

Średnie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 455/6 = 75,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 443

Prosta regresji

b = 443/70 = 6,329

a = 75,83 − 6,329·6 = 37,86

ŷ = 37,86 + 6,329·x

Wyznacz x

x = (88 − 37,86)/6,329 = 7,922

Odpowiedź

x = 7,922

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 26,79

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 91·53/180 = 26,79

Odpowiedź

E = 26,79

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 11,07

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Tabela

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Odpowiedź

χ²_crit = 11,070

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology