Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Rzetelność metodą połówkową polega na:

AWykorzystaniu dwóch obserwatorów, każdego na połowie sesji
BPorównaniu wyników w dwóch połowach tego samego testu w celu sprawdzenia zgodności wewnętrznej
CPodziale próby na grupę eksperymentalną i kontrolną oraz porównaniu ich wyników
DBadaniu dwóch połówek próby w różnym czasie

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W analizie tematycznej analityk przede wszystkim:

AOblicza średni wynik dla każdego tematu, aby porównać je statystycznie
BIdentyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych
CLiczy wyłącznie częstość słów
DTestuje hipotezę liczbową

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 43, 11, 23, 13, 32, 24.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Jaka część P wartości leży powyżej 536?

μ = 500σ = 60x = 536

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 10k = 3

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 9p = 0,7k = 1

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 65 a 67,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 67,5

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 6,6. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 90 % z tych samych danych?

95%n₁ = 50E₁ = 6,690%

E₂ =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 16. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 16E = 290%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 100,3 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,3s = 5n = 100

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 99,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 99,7σ = 10n = 8195%

L =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 21?

n = 5ŷ = 21

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 11 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 11

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Porównaniu wyników w dwóch połowach tego samego testu w celu sprawdzenia zgodności wewnętrznej

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli obie połowy mierzą ten sam konstrukt, wyniki w nich powinny być silnie skorelowane. Alfa Cronbacha rozszerza tę ideę na wszystkie możliwe podziały.

Odpowiedź

B · Porównaniu wyników w dwóch połowach tego samego testu w celu sprawdzenia zgodności wewnętrznej

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Identyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych

Dlaczego to jest odpowiedź

Analiza tematyczna obejmuje zapoznanie się z danymi, kodowanie, wyłanianie, przegląd i nazywanie tematów oraz raport; skupia się na znaczeniu, a nie na statystyce.

Odpowiedź

B · Identyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,96

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 146/6 = 24,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 18,67² + (−13,33)² + (−1,333)² + (−11,33)² + 7,667² + (−0,3333)² = 715,3

Odchylenie standardowe

s = √(715,3/5) = 11,96

Odpowiedź

s = 11,96

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,2743

Standaryzuj

z = 0,6

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Odpowiedź

P = 0,2743

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 120

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Odpowiedź

N = 120

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,0004133

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 9·0,7¹·0,3⁸ = 9·0,7·6,561 × 10⁻⁵ = 0,0004133

Odpowiedź

P = 0,0004133

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,09871

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Pole pomiędzy

P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871

Odpowiedź

P = 0,09871

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 189,5 cm

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Odpowiedź

x = 189,51 cm

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 5,539

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393

Nowy margines

E₂ = 6,6·0,8393 = 5,539

Odpowiedź

E₂ = 5,539

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 174

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·16/2)² = 173,2

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 174

Odpowiedź

n = 174

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,6

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Statystyka testowa

t = (100,3 − 100)/0,5 = 0,6

Odpowiedź

t = 0,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 97,52

Margines błędu

E = 1,96·10/√81 = 2,178

Granica przedziału

L = 99,7 − 2,178 = 97,52

Odpowiedź

L = 97,52

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9689

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 83,33

Współczynnik korelacji

r = −37/√(17,5·83,33) = −0,9689

Odpowiedź

r = −0,9689

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,556

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 119/5 = 23,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Prosta regresji

b = −18/10 = −1,8

a = 23,8 − (−1,8)·3 = 29,2

ŷ = 29,2 − 1,8·x

Wyznacz x

x = (21 − 29,2)/(−1,8) = 4,556

Odpowiedź

x = 4,556

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 1,667

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

studenci: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24

pracownicy: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (20 − 18)²/18 + (20 − 18)²/18 + (20 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (34 − 36)²/36 + (52 − 48)²/48

χ² = 1,667

Odpowiedź

χ² = 1,667

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 10

Stopnie swobody

df = 11 − 1 = 10

Odpowiedź

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology