Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

W rozkładzie prawoskośnym (o dodatniej skośności), np. dochodów:

ANie ma wyników skrajnych
BŚrednia i mediana są zawsze równe
CŚrednia jest większa od mediany
DŚrednia jest mniejsza od mediany

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Dlaczego wielu badaczy twierdzi, że wartości p należy raportować razem z wielkościami efektu i przedziałami ufności?

AWielkości efektu sprawiają, że liczebność próby jest bez znaczenia dla istotności
BWartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt
CPrzedziały ufności są potrzebne tylko w badaniach jakościowych
DWartości p pokazują prawdopodobieństwo, że hipoteza jest prawdziwa

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 24, 36, 30, 26, 59.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 160.

μ = 170σ = 5x = 160

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 7

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 11p = 0,5

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9786. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9786

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

9.Przedziały ufnościŚredni

U 11 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 7,1 i odchylenie standardowe 4. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.

n = 11d̄ = 7,1s_d = 490%t(10) = 1,812

E = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,025?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

11 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 6,81, a odchylenie standardowe różnic 6,1. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 6,81s_d = 6,1

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 0,590%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 25Σy = 273Σx² = 165Σy² = 15247Σxy = 1475

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 19). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(9, 19)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 6 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Średnia jest większa od mediany

Dlaczego to jest odpowiedź

Kilka bardzo wysokich wartości w prawym ogonie podnosi średnią powyżej mediany, dlatego przy danych skośnych często podaje się medianę.

Odpowiedź

C · Średnia jest większa od mediany

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

Dlaczego to jest odpowiedź

Wartość p silnie zależy od liczebności próby i wskazuje tylko, jak zaskakujące są dane przy hipotezie zerowej. Wielkości efektu pokazują rozmiar, a przedziały – precyzję.

Odpowiedź

B · Wartość p nie pokazuje, jak duży ani jak precyzyjnie oszacowany jest efekt

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,45

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 199/6 = 33,17

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−9,167)² + (−9,167)² + 2,833² + (−3,167)² + (−7,167)² + 25,83² = 904,8

Odchylenie standardowe

s = √(904,8/5) = 13,45

Odpowiedź

s = 13,45

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Standaryzuj

z = (160 − 170)/5 = −2

Odpowiedź

z = −2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1091

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091

Odpowiedź

P = 0,1091

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,005859

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Dodaj

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Odpowiedź

P = 0,005859

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 2,3

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,9786)/2 = 0,9893

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9893 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 2,30

Odpowiedź

z = 2,30

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 466,3 h

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Odpowiedź

x = 466,34 h

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 2,185 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 10, t = 1,812

Margines błędu

E = 1,812·4/√11 = 2,185

Odpowiedź

E = 2,185 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Zaokrąglij w górę

n = 1537

Odpowiedź

n = 1537

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 3,703

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 6,1/√11 = 1,839

Statystyka testowa

t = 6,81/1,839 = 3,703

Odpowiedź

t = 3,703

Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 271

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·5/0,5)² = 270,6

Zaokrąglij w górę

n = 271

Odpowiedź

n = 271

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9416

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1475 − 25·273/5 = 110

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 15247 − 273²/5 = 341,2

Współczynnik korelacji

r = 110/√(40·341,2) = 0,9416

Odpowiedź

r = 0,9416

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,062

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 73/6 = 12,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 97

Prosta regresji

b = 97/70 = 1,386

a = 12,17 − 1,386·7 = 2,467

ŷ = 2,467 + 1,386·x

Wartość przewidywana

ŷ = 2,467 + 1,386·9 = 14,94

Reszta

e = 19 − 14,94 = 4,062

Odpowiedź

e = 4,062

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 3,535

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

mężczyźni: 100·77/140 = 55, 100·63/140 = 45

kobiety: 40·77/140 = 22, 40·63/140 = 18

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (60 − 55)²/55 + (40 − 45)²/45 + (17 − 22)²/22 + (23 − 18)²/18

χ² = 3,535

Odpowiedź

χ² = 3,535

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 13,28

Stopnie swobody

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabela

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Odpowiedź

χ²_crit = 13,277

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology