Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (5, 5, 4) i b = (−4, 3, 2), w stopniach.

a = (5, 5, 4)b = (−4, 3, 2)

θ = °

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (−60, −40, −50) N działa w punkcie A(0, 0, −4). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową y, czyli M_y, momentu tej siły względem punkt O(2, 0, −2).

F = (−60, −40, −50) NA(0, 0, −4) mO(2, 0, −2) m

M_y = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP₁ = 35 kN w 2,5 mP₂ = 55 kN w 3 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mP = 25 kN w 2 mw = 2 kN/m od 0 do 2 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 30 kNobciążenie poziome = 20 kN →

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4,5 m i poziomym ściągiem DE 2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,4 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 6 kNAB = 3,2 mwysokość C = 4,5 mwysokość DE = 2 modległość pozioma od A do K = 0,4 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 1 m. W punkcie C działa pozioma siła 2 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 2 kNAB = 3,2 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 6,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 4 kN/m od 0 do 10 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7 mw = 6 kN/m od 0 do 7 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_B = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 200 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 40 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 210 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 300 mmwycięcie: 40 × 40 mmśrodek otworu: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 86,07 °

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 5·(−4) + 5·3 + 4·2 = 3

Długości

|a| = √(5² + 5² + 4²) = 8,124

|b| = √((−4)² + 3² + 2²) = 5,385

Kąt

cos θ = 3/(8,124·5,385) = 0,06857

θ = arccos(0,06857) = 86,07°

Odpowiedź

θ = 86,07°

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: M_y = 20 N·m

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (0, 0, −4) − (2, 0, −2) = (−2, 0, −2) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 0·(−50) − (−2)·(−40) = −80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·(−60) − (−2)·(−50) = 20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−40) − 0·(−60) = 80 N·m

Żądana składowa

M_y = 20 N·m

Odpowiedź

M_y = 20 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 26,88 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2,5 + 55·3

R_B = 252,5/4 = 63,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 63,13 = 26,88 kN

Odpowiedź

R_A = 26,88 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 22,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, przyłożona w x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·2 + 2·2·1

R_B = 54/8 = 6,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 29 − 6,75 = 22,25 kN

Odpowiedź

R_A = 22,25 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −12,37 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,7071 = −12,37 kN

Odpowiedź

F_BC = −12,37 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −36,06 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·4 + 20·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 30 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,8321 = −36,06 kN

Odpowiedź

F_BC = −36,06 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 0,48 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 6·0,4/3,2 = 0,75 kN

Noga BC: momenty względem C

0,75·1,6 = T·2,5

T = 0,48 kN

Odpowiedź

T = 0,48 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 1,5 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·3,2 = 2·3

B_y = 1,875 kN

Noga BC: momenty względem C

1,875·1,6 = T·2

T = 1,5 kN

Odpowiedź

T = 1,5 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 45,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Przetnij w x = 6,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 20·6,5 − 4·6,5·3,25 = 45,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 45,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −3 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·7·3,5

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 24,5 = 17,5 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −6·1²/2 = −3 kN·m

Odpowiedź

M_B = −3 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 52,72 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·247,5 + 4320·120)/7920 = 178 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·15³/12 + 3600·(247,5 − 178)² = 1,748 × 10⁷ mm⁴

środnik: 18·240³/12 + 4320·(120 − 178)² = 3,525 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,748 × 10⁷ + 3,525 × 10⁷ = 5,272 × 10⁷ mm⁴ = 52,72 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 52,72 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 443,9 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (60000·150 − 1600·210)/(60000 − 1600) = 148,4 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·300³/12 + 60000·1,644² = 450,2 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

40·40³/12 + 1600·61,64² = 6,293 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 443,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 443,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics