Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (0, −20, −5) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(3, −4, 0) do punktu B(0, −1, −2). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (0, −20, −5) NA(3, −4, 0) mB(0, −1, −2) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(−1, 3, −3), B(−3, 4, 3) i C(4, 0, 3). Współrzędne podano w metrach.

A(−1, 3, −3)B(−3, 4, 3)C(4, 0, 3)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP₁ = 60 kN w 2 mP₂ = 55 kN w 7 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 2,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 2,5 m do swobodnego końca w 4 m. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 50 kN w 1 mw = 3 kN/m od 2,5 do 4 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 30 kN →

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 5 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,4 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,875 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 5 kNAB = 5 mwysokość C = 2,4 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 1,875 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2,4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4,5 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 2 m. W punkcie C działa pozioma siła 15 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 15 kNAB = 2,4 mwysokość C = 4,5 mwysokość DE = 2 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

50 kN @ 4 m55 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 35 kN w 1,5 mw = 10 kN/m od 0 do 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 15 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = −50 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (0, −1, −2) − (3, −4, 0) = (−3, 3, −2) m

Praca

W = F·d = 0·(−3) + (−20)·3 + (−5)·(−2) = −50 J

Odpowiedź

W = −50 J

Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 24,19 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (−2, 1, 6)

AC = C − A = (5, −3, 6)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·6 − 6·(−3) = 24

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 6·5 − (−2)·6 = 42

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−2)·(−3) − 1·5 = 1

|AB × AC| = √(24² + 42² + 1²) = 48,38

Pole trójkąta

A = ½·48,38 = 24,19 m²

Odpowiedź

A = 24,19 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 63,13 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2 + 55·7

R_B = 505/8 = 63,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 63,13 = 51,88 kN

Odpowiedź

R_B = 63,13 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 25,85 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 3·1,5 = 4,5 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 50·1 + 4,5·3,25

R_B = 64,63/2,5 = 25,85 kN

R_A = 54,5 − 25,85 = 28,65 kN

Odpowiedź

R_B = 25,85 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −11,27 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 → C_y = 6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,25/0,5547 = −11,27 kN

Odpowiedź

F_BC = −11,27 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −22,53 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·6 + 30·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 18,75 = −8,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,8321 = −22,53 kN

Odpowiedź

F_BC = −22,53 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 2,93 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 5·1,875/5 = 1,875 kN

Noga BC: momenty względem C

1,875·2,5 = T·1,6

T = 2,93 kN

Odpowiedź

T = 2,93 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 13,5 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·2,4 = 15·4,5

B_y = 28,13 kN

Noga BC: momenty względem C

28,13·1,2 = T·2,5

T = 13,5 kN

Odpowiedź

T = 13,5 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 62,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 62,5, M_C = 70, M_D = 77,5, M_E = 85 kN·m, M_F = 42,5, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 85 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 63 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1,5 + 10·5·2,5

R_B = 177,5/5 = 35,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 35,5 = 49,5 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 49,5·1,5 − 10·1,5·0,75 = 63 kN·m

Odpowiedź

M_x = 63 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 45,28 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

środnik: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·255 + 2880·120)/7080 = 200,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·30³/12 + 4200·(255 − 200,1)² = 1,298 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·240³/12 + 2880·(120 − 200,1)² = 3,23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,298 × 10⁷ + 3,23 × 10⁷ = 4,528 × 10⁷ mm⁴ = 45,28 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 45,28 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 19,03 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·247,5 + 3840·120)/8340 = 188,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 188,8)² = 1,559 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·240³/12 + 3840·(120 − 188,8)² = 3,661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,559 × 10⁷ + 3,661 × 10⁷ = 5,22 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 255 − 188,8 = 66,21 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·66,21/5,22 × 10⁷ = 19,03 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 19,03 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics