Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (6, −6, 5) na b = (−6, 0, 4), czyli składową a w kierunku b.

a = (6, −6, 5)b = (−6, 0, 4)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−2, 2, −4), b = (5, 5, 3) i c = (5, 1, 0).

a = (−2, 2, −4)b = (5, 5, 3)c = (5, 1, 0)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 55 kN w 3,5 mP₂ = 10 kN w 4,5 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 35 kN w 2 mw = 5 kN/m od 2 do 5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓C: 35 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 10 kN →G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 3,6 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,9 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 10 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 10 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 3,6 modległość pozioma od A do K = 0,9 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 2 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 3 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 2,5 mAC = 3 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mP₁ = 30 kN w 1,5 mP₂ = 30 kN w 3 m

M_max = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 30 kN w 4 mw = 5 kN/m od 0 do 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 300 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 90 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 170 × 24 mm, środnik o wysokości 250 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 200 × 12 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 170 × 24 mmśrodnik: 14 × 250 mmpółka dolna: 200 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −2,219

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 6·(−6) + (−6)·0 + 5·4 = −16

Długość b

|b| = √((−6)² + 0² + 4²) = 7,211

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −16/7,211 = −2,219

Odpowiedź

comp_b a = −2,219

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 116

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·0 − 3·1 = −3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·5 − 5·0 = 15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·1 − 5·5 = −20

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−2)·(−3) + 2·15 + (−4)·(−20) = 116

V = |116| = 116

Odpowiedź

V = 116

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 39,58 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3,5 + 10·4,5

R_B = 237,5/6 = 39,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 39,58 = 25,42 kN

Odpowiedź

R_B = 39,58 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 29,58 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2 + 5·3·3,5

R_B = 122,5/6 = 20,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 20,42 = 29,58 kN

Odpowiedź

R_A = 29,58 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 85 kN (T), BC: 85 kN (T), CD: 88,33 kN (T), DE: 88,33 kN (T), FG: 130 kN (C), GH: 130 kN (C), AF: 106,3 kN (C), HE: 110,4 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 56,25 kN (T), HC: 52,08 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 43,75 kN (T), BC: 43,75 kN (T), CD: 56,25 kN (T), DE: 56,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 79,55 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 47,73 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 2,079 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(2,4² + 2,5²) = 3,466 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/3,466)·6 = 10·0,9

F_BC = 2,079 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 2,079 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 9,112 kN

Kąt liny

BC = √(2,5² + 3²) = 3,905 m, sin β = 0,7682

Momenty względem A

T·0,7682·2,5 = 6·2,5 + 2·1,25

T = 9,112 kN

Odpowiedź

T = 9,112 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 39,38 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,5 + 30·3

R_B = 135/4 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 33,75 = 26,25 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1,5 = 26,25·1,5 = 39,38 kN·m

pod P₂: M = R_B·1 = 33,75·1 = 33,75 kN·m

Największa wartość

M_max = 39,38 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 39,38 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 132 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·4 + 5·10·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 37 = 43 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 43·4 − 5·4·2 = 132 kN·m

Odpowiedź

M_x = 132 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 267,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (36000·150 − 706,9·90)/(36000 − 706,9) = 151,2 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,202² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−61,2² = 2,687 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 267,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 267,4 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 130,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 4080 mm², y = 274 mm

środnik: A = 3500 mm², y = 137 mm

półka dolna: A = 2400 mm², y = 6 mm

Środek ciężkości

ȳ = (4080·274 + 3500·137 + 2400·6)/9980 = 161,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 170·24³/12 + 4080·112,5² = 5,183 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·250³/12 + 3500·24,51² = 2,033 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 200·12³/12 + 2400·155,5² = 5,807 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,183 × 10⁷ + 2,033 × 10⁷ + 5,807 × 10⁷

I_x = 1,302 × 10⁸ mm⁴ = 130,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 130,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics