Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (2, 5, 7) na b = (−2, 2, 4), czyli składową a w kierunku b.

a = (2, 5, 7)b = (−2, 2, 4)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−1, 4, −2), b = (0, −1, 4) i c = (4, 5, −4).

a = (−1, 4, −2)b = (0, −1, 4)c = (4, 5, −4)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1,5 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 1 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 4 mP = 60 kN w 1,5 mM = 15 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 1 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3,5 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (6 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 4 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 30 kN w 4 mw = 4 kN/m od 3,5 do 6 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 55 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 15 kN →

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,75 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 15 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 15 kNAD = 0,75 mAB = 2,5 mAC = 0,75 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 2,5 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 10 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.

W = 10 kNW_b = 1 kNAB = 2 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_x pod siłą P₁. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7 mP₁ = 65 kN w 4 mP₂ = 15 kN w 7 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 15 kN w 2,5 mw = 4 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 200 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 30 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 96 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 240 mmwycięcie: 30 × 30 mmśrodek otworu: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 6,94

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 2·(−2) + 5·2 + 7·4 = 34

Długość b

|b| = √((−2)² + 2² + 4²) = 4,899

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 34/4,899 = 6,94

Odpowiedź

comp_b a = 6,94

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 72

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·(−4) − 4·5 = −16

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·4 − 0·(−4) = 16

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·5 − (−1)·4 = 4

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−1)·(−16) + 4·16 + (−2)·4 = 72

V = |72| = 72

Odpowiedź

V = 72

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 33,75 kN

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 60·1,5 − 15 = 0

R_B = 105/4 = 26,25 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 60 − 26,25 = 33,75 kN

Odpowiedź

R_A = 33,75 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 101,5 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 4·2,5 = 10 kN w 1,25 m od C

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 30·0,5 + 10·1,25

R_D = 11 kN

V_C = 40 − 11 = 29 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 29 = 29 kN

M_A = 29·3,5 = 101,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 101,5 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 15,28 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 → C_y = 45,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 45,83 = 9,167 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45,83/0,9487 = −48,31 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−48,31)·0,3162 = 15,28 kN

Odpowiedź

F_AC = 15,28 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = 8,839 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 + 15·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 26,25 = −6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−6,25/0,7071 = 8,839 kN

Odpowiedź

F_AB = 8,839 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 61,03 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 15·2,5/(0,7071·0,75) = 70,71 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 50 kN (w stronę ściany)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −35 kN

Długość

A = √(50² + −35²) = 61,03 kN

Odpowiedź

A = 61,03 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 8,415 kN

Siła w linie

T = (10 + 1/2)/0,7809 = 13,45 kN

Składowe w A

A_x = T·cos β = 8,4 kN

A_y = 10 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Długość

A = √(8,4² + 0,5²) = 8,415 kN

Odpowiedź

A = 8,415 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 76,67 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·4 + 15·7

R_B = 365/6 = 60,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 60,83 = 19,17 kN

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część

M_x = R_A·4 = 19,17·4 = 76,67 kN·m

Odpowiedź

M_x = 76,67 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 6,313 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 4·4·2

R_B = 69,5/4 = 17,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 17,38 = 13,63 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 13,63·0,5 − 4·0,5·0,25 = 6,313 kN·m

Odpowiedź

M_x = 6,313 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 16,39 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

środnik: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·170 + 2560·80)/5360 = 127 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·20³/12 + 2800·(170 − 127)² = 5,267 × 10⁶ mm⁴

środnik: 16·160³/12 + 2560·(80 − 127)² = 1,112 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,267 × 10⁶ + 1,112 × 10⁷ = 1,639 × 10⁷ mm⁴ = 16,39 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 16,39 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 229,8 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (48000·120 − 900·96)/(48000 − 900) = 120,5 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,4586² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

30·30³/12 + 900·−24,46² = 0,6059 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 229,8 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 229,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statyka: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Metoda

Reakcje podpór belek

Metoda

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda

Ramy i maszyny

Metoda

Siła tnąca i moment zginający

Metoda

Środek ciężkości i moment bezwładności

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Iloczyn skalarny

Długość b

Rzut skalarny

Odpowiedź

Iloczyn wektorowy b × c

Iloczyn skalarny z a

Odpowiedź

Momenty względem A

Równowaga sił pionowych

Odpowiedź

Część CD

Część AC

Odpowiedź

Reakcje podpór

Węzeł C

Odpowiedź

Reakcje podpór

Węzeł A

Odpowiedź

Siła w rozpórce

Składowe w A

Długość

Odpowiedź

Siła w linie

Składowe w A

Długość

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przekrój pod P1, zostaw lewą część

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Odpowiedź

Podziel na dwa prostokąty

Środek ciężkości

Twierdzenie Steinera

Odpowiedź

Środek ciężkości

Pełna płyta względem ȳ

Otwór względem ȳ

Odejmij

Odpowiedź

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część