W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź wartość k, dla której wektory a = (1, −3, −3) i b = (−5, k, 3) są prostopadłe.
a = (1, −3, −3)b = (−5, k, 3)
k =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (5, 3, −3) i b = (5, −5, 2) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂x.
a = (5, 3, −3)b = (5, −5, 2)n̂z > 0
n̂x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 40 kN w 5 mP2 = 80 kN w 10 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 5 mP = 10 kN w 1,5 mw = 4 kN/m od 3 do 4 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 50 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 30 kN ←
FAC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2,4 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3,6 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 4 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 4 kNAB = 2,4 mwysokość C = 3,6 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 0,6 m
T = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2,4 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 0,6 m. W punkcie C działa pozioma siła 20 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 20 kNAB = 3,2 mwysokość C = 2,4 mwysokość DE = 0,6 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
L = 10 mP1 = 25 kN w 2 mP2 = 75 kN w 4 m
Mmax = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 10 mP = 25 kN w 1 mw = 8 kN/m od 0 do 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 130 mm i średnicę wewnętrzną d = 122 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.
D = 130 mmd = 122 mm
r = mm
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 100 mm i grubości 24 mm, wysokość całkowitą 240 mm i środnik o grubości 8 mm. Przenosi moment zginający 80 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σmax w przekroju.
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Iloczyn skalarny równa się zero
a·b = 1·(−5) + (−3)·k + (−3)·3 = 0
−14 + (−3)·k = 0
Wyznacz k
k = −(−14)/(−3) = −4,667
Odpowiedź
k = −4,667
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: n̂x = 0,1874
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy
(a × b)x = aybz − azby = 3·2 − (−3)·(−5) = −9
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·5 − 5·2 = −25
(a × b)z = axby − aybx = 5·(−5) − 3·5 = −40
Normalizacja
Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·6 = 40·5 + 80·10
RB = 1000/6 = 166,7 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 40 + 80 − 166,7 = −46,67 kN
Odpowiedź
RB = 166,7 kN
RA jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 8,2 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,5 + 4·1·3,5
RB = 29/5 = 5,8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 5,8 = 8,2 kN
Odpowiedź
RA = 8,2 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FAC = 18,75 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·1 − 30·3 → Cy = −11,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −11,67 = 31,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By = 4·0,6/2,4 = 1 kN
Noga BC: momenty względem C
1·1,2 = T·2,8
T = 0,4286 kN
Odpowiedź
T = 0,4286 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 13,33 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By·3,2 = 20·2,4
By = 15 kN
Noga BC: momenty względem C
15·1,6 = T·1,8
T = 13,33 kN
Odpowiedź
T = 13,33 kN
Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 210 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
ΣMA = 0: RB·10 = 25·2 + 75·4
RB = 350/10 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 35 = 65 kN
Moment pod każdą siłą
Zostaw część na lewo od każdej siły.
pod P1: M = RA·2 = 65·2 = 130 kN·m
pod P2: M = RB·6 = 35·6 = 210 kN·m
Największa wartość
Mmax = 210 kN·m (pod P2)
Odpowiedź
Mmax = 210 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 58,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·1 + 8·10·5
RB = 425/10 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 42,5 = 62,5 kN
Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 62,5·1 − 8·1·0,5 = 58,5 kN·m
Odpowiedź
Mx = 58,5 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: r = 44,57 mm
Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = Ic + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.
Pole netto i moment bezwładności netto
A = π(D² − d²)/4 = 1583 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,145 × 10⁶ mm⁴
Promień bezwładności
r = √(I/A) = √(3,145 × 10⁶/1583) = 44,57 mm
Odpowiedź
r = 44,57 mm
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: σmax = 157,5 MPa
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia
Oba wycięcia razem mają szerokość (B − tw) i wysokość hw = H − 2tf oraz wspólną oś x.