Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−5, 6, −5) na b = (5, 2, 3), czyli składową a w kierunku b.

a = (−5, 6, −5)b = (5, 2, 3)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(−2, −3, 0), B(1, 0, −4) i C(1, −4, 1). Współrzędne podano w metrach.

A(−2, −3, 0)B(1, 0, −4)C(1, −4, 1)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 25 kN w 2,5 mP₂ = 20 kN w 4 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 6 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 8 mP = 20 kN w 2 m, θ = 30°Q = 15 kN w 6 m

α = °

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 30 kNobciążenie poziome = 30 kN →

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 2,7 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 1,62 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 20 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 2,7 modległość pozioma od A do K = 1,62 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 0,8 m. W punkcie C działa pozioma siła 2 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 2 kNAB = 2 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 0,8 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od A. Wyznacz moment zginający M_A w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 80 kN w 5 mw = 5 kN/m od 0 do 5 m

M_A = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 10 mP = 60 kN w 2 mw = 10 kN/m od 0 do 10 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 170 mm i grubości 12 mm, wysokość całkowitą 240 mm i środnik o grubości 12 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 170 mmH = 240 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 100 mm i grubości 22 mm, wysokość całkowitą 360 mm i środnik o grubości 6 mm. Przenosi moment zginający 50 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σ_max w przekroju.

B = 100 mmH = 360 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −4,542

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−5)·5 + 6·2 + (−5)·3 = −28

Długość b

|b| = √(5² + 2² + 3²) = 6,164

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −28/6,164 = −4,542

Odpowiedź

comp_b a = −4,542

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 9,618 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (3, 3, −4)

AC = C − A = (3, −1, 1)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 3·1 − (−4)·(−1) = −1

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−4)·3 − 3·1 = −15

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 3·(−1) − 3·3 = −12

|AB × AC| = √((−1)² + (−15)² + (−12)²) = 19,24

Pole trójkąta

A = ½·19,24 = 9,618 m²

Odpowiedź

A = 9,618 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 23,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2,5 + 20·4

R_B = 142,5/6 = 23,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 23,75 = 21,25 kN

Odpowiedź

R_B = 23,75 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 33 °

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 20·sin 30° = 10 kN

P_h = 20·cos 30° = 17,32 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 15·6 → R_B = 13,75 kN

A_y = 10 + 15 − 13,75 = 11,25 kN

A_x = P_h = 17,32 kN

Kierunek w A

α = atan(A_y/A_x) = atan(11,25/17,32) = 33°

Odpowiedź

α = 33°

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 14,58 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 → C_y = 5,833 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 5,833 = 29,17 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5,833/0,3714 = −15,71 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,71)·0,9285 = 14,58 kN

Odpowiedź

F_AC = 14,58 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −8,485 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·2 + 30·2 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6/0,7071 = −8,485 kN

Odpowiedź

F_AB = −8,485 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 8,943 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(3,3² + 2,5²) = 4,14 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/4,14)·6 = 20·1,62

F_BC = 8,943 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 8,943 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 1,25 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·2 = 2·4

B_y = 4 kN

Noga BC: momenty względem C

4·1 = T·3,2

T = 1,25 kN

Odpowiedź

T = 1,25 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_A = −462,5 kN·m

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −80·5 = −400 kN·m

w: −5·5²/2 = −62,5 kN·m

M_A = −400 − 62,5 = −462,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = −462,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 192,2 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 10·10·5

R_B = 620/10 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 62 = 98 kN

Gdzie V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (98 − 60)/10 = 3,8 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 192,2 kN·m

Odpowiedź

M_max = 192,2 kN·m

Występuje w x = 3,8 m od A.

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 526,3 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 240 − 2·12 = 216 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·240³ − 158·216³)/12

I_x = 6,315 × 10⁷ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 120 mm

S_x = I/c = 6,315 × 10⁷/120

S_x = 526253 mm³ = 526,3 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 526,3 × 10³ mm³

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_max = 63,55 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 360 − 2·22 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·360³ − 94·316³)/12

I_x = 1,416 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 180 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·180/1,416 × 10⁸ = 63,55 MPa

Odpowiedź

σ_max = 63,55 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics