W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź kąt θ między wektorami a = (1, −2, −6) i b = (3, 0, −3), w stopniach.
a = (1, −2, −6)b = (3, 0, −3)
θ = °
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (1, −5, −1) i b = (2, −3, 0) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂x.
a = (1, −5, −1)b = (2, −3, 0)n̂z > 0
n̂x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 6 mP1 = 55 kN w 3 mP2 = 30 kN w 5 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (10 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 7 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD i siłę skupioną Q w odległości 1 m od A. Wyznacz reakcję RD na podporze przesuwnej.
AC = 3 mAD = 10 mP = 75 kN w 7 mw = 4 kN/m od 3 do 10 mQ = 65 kN w 1 m
RD = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 35 kN ↓G: 15 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 5 kN ←
FAC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2 m, a poziomy ściąg DE jest 1 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 12 kNAB = 4 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1,5 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 1,5 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 6 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.
W = 6 kNWb = 1,5 kNAB = 6 mAC = 1,5 m
A = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 4 m od A. Wyznacz moment zginający MA w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 4 mP = 35 kN w 4 mw = 10 kN/m od 0 do 4 m
MA = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
L = 6 mw = 6 kN/m od 0 do 4 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 160 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 120 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 20 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.
b = 160 mmh = 120 mmt = 20 mm
ȳ = mm
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Płyta 120 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 40 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 120 mmh = 240 mmwycięcie: 40 × 50 mmśrodek otworu: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Roztwory
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: θ = 39,37 °
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 1·3 + (−2)·0 + (−6)·(−3) = 21
Długości
|a| = √(1² + (−2)² + (−6)²) = 6,403
|b| = √(3² + 0² + (−3)²) = 4,243
Kąt
cos θ = 21/(6,403·4,243) = 0,773
θ = arccos(0,773) = 39,37°
Odpowiedź
θ = 39,37°
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: n̂x = −0,381
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·0 − (−1)·(−3) = −3
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·2 − 1·0 = −2
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−3) − (−5)·2 = 7
Normalizacja
Składowa z wektora a × b jest już dodatnia.
|a × b| = √((−3)² + (−2)² + 7²) = 7,874
n̂ = (−3, −2, 7)/7,874 = (−0,381, −0,254, 0,889)
n̂x = −0,381
Odpowiedź
n̂x = −0,381
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 52,5 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·3 + 30·5
RB = 315/6 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 52,5 = 32,5 kN
Odpowiedź
RB = 52,5 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RD = 56,86 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.
Część CD
W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.
W = 4·7 = 28 kN w 3,5 m od C
ΣMC = 0: RD·7 = 75·4 + 28·3,5
RD = 56,86 kN
VC = 103 − 56,86 = 46,14 kN
Odpowiedź
RD = 56,86 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·5 − 5·3 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 20 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 6 kN
T = 6·2/1 = 12 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 12 kN, Cy = −By = −6 kN
Długość
C = √(12² + 6²) = 13,42 kN
Odpowiedź
C = 13,42 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: A = 27,01 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w linie
T = (6 + 1,5/2)/0,2425 = 27,83 kN
Składowe w A
Ax = T·cos β = 27 kN
Ay = 6 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN
Długość
A = √(27² + 0,75²) = 27,01 kN
Odpowiedź
A = 27,01 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: MA = −220 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Zostaw część ze swobodnym końcem
P: −35·4 = −140 kN·m
w: −10·4²/2 = −80 kN·m
MA = −140 − 80 = −220 kN·m
Odpowiedź
MA = −220 kN·m
Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 21,33 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·4·2
RB = 48/6 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 8 = 16 kN
Zerowa siła tnąca
Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na prostokąty
Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.
baza: A1 = 160·20 = 3200 mm², y1 = 10 mm
dwa ramiona: A2 = 2·20·100 = 4000 mm², y2 = 20 + 100/2 = 70 mm
Środek ciężkości
ȳ = (3200·10 + 4000·70)/7200 = 43,33 mm
Odpowiedź
ȳ = 43,33 mm
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (28800·120 − 2000·168)/(28800 − 2000) = 116,4 mm