W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź rzut skalarny compb a wektora a = (−7, −1, −4) na b = (2, −1, −6), czyli składową a w kierunku b.
a = (−7, −1, −4)b = (2, −1, −6)
compb a =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Znajdź pole A równoległoboku rozpiętego na wektorach a = (3, 1, −2) i b = (2, 3, −2).
a = (3, 1, −2)b = (2, 3, −2)
A =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 6 mP1 = 30 kN w 2 mP2 = 35 kN w 5 m
RA = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 3 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 3 m do swobodnego końca w 8 m. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 5 mAC = 8 mP = 35 kN w 3 mw = 2 kN/m od 3 do 8 m
RB = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
F: 40 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 10 kN ←
FBC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
W pokazanym zacisku z przegubem kolanowym dwa jednakowe ogniwa AB i BC są połączone przegubem w B, a każde tworzy kąt 30° z prostą AC. W punkcie B przyłożono siłę 200 N skierowaną w dół. Suwak C naciska na obrabiany element. Pomijając tarcie i ciężary, wyznacz poziomą siłę docisku Q.
F = 200 Nθ = 30°
Q = N
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 2,5 m wysoko i 1,8 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 4 kN w punkcie K, w odległości 0,9 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 5 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji Ax w A.
P = 4 kNQ = 5 kNL = 4 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 1,8 modległość pozioma od A do K = 0,9 m
Ax = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 5 mw = 3 kN/m od 0 do 5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 8 mP = 20 kN w 6 mw = 5 kN/m od 0 do 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 100 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający Mallow, jaki może przenieść belka.
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = (−7)·2 + (−1)·(−1) + (−4)·(−6) = 11
Długość b
|b| = √(2² + (−1)² + (−6)²) = 6,403
Rzut skalarny
compb a = a·b/|b| = 11/6,403 = 1,718
Odpowiedź
compb a = 1,718
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: A = 8,307
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy
(a × b)x = aybz − azby = 1·(−2) − (−2)·3 = 4
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·2 − 3·(−2) = 2
(a × b)z = axby − aybx = 3·3 − 1·2 = 7
Powierzchnia
A = |a × b| = √(4² + 2² + 7²) = 8,307
Odpowiedź
A = 8,307
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 25,83 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·6 = 30·2 + 35·5
RB = 235/6 = 39,17 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 39,17 = 25,83 kN
Odpowiedź
RA = 25,83 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 32 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Wypadkowa obciążenia ciągłego
W = 2·5 = 10 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 10·5,5
RB = 160/5 = 32 kN
RA = 45 − 32 = 13 kN
Odpowiedź
RB = 32 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 − 10·2 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 3,75 = 31,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a Fin·a = Fout·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).
Równowaga przegubu B
2·Flink·sin 30° = 200
Flink = 200 N
Siła docisku
Q = Flink·cos 30° = 200/(2·tan 30°) = 173,2 N
Odpowiedź
Q = 173,2 N
Stosunek sił Q/F = 0,866 rośnie bez ograniczeń, gdy ogniwa się prostują.
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: Ax = 1,458 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kierunek BC
BC = 3,33 m, cos = 0,6606, sin = 0,7507
Cała rama: momenty względem A
FBC·0,7507·4 = 4·0,9 + 5·2,5
FBC = 5,362 kN
Bilans poziomy
Ax + 5 − 5,362·0,6606 = 0
Ax = −1,458 kN → |Ax| = 1,458 kN
Odpowiedź
Ax = 1,458 kN
Znak minus oznacza, że Ax jest skierowane w lewo.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 3,375 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2,5
RB = 37,5/5 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7,5 = 7,5 kN
Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 7,5·0,5 − 3·0,5·0,25 = 3,375 kN·m
Odpowiedź
Mx = 3,375 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 22,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·6 + 5·8·4
RB = 280/8 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 35 = 25 kN
Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 25·1 − 5·1·0,5 = 22,5 kN·m
Odpowiedź
Mx = 22,5 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 10,97 × 10⁶ mm⁴
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 120 + 25/2 = 132,5 mm
środnik: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.