Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (15, 5, 15) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(−1, 5, −1) do punktu B(5, 0, 2). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (15, 5, 15) NA(−1, 5, −1) mB(5, 0, 2) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−2, 2, 2), b = (−1, 4, 3) i c = (−5, 4, 4).

a = (−2, 2, 2)b = (−1, 4, 3)c = (−5, 4, 4)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 3 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 1,5 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 4 mP = 50 kN w 3 mM = 60 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 1,5 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 4 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 5 m do swobodnego końca w 8 m. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 5 mAC = 8 mP = 80 kN w 4 mw = 4 kN/m od 5 do 8 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 20 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 50 kNobciążenie poziome = 30 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1,2 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 6 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 6 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 4 m wysoko i 0,6 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 5 kN w punkcie K, w odległości 0,24 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 5 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 5 kNQ = 5 kNL = 4 mH = 4 modległość pozioma od A do B = 0,6 modległość pozioma od A do K = 0,24 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 2 kN/m od 0 do 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 5,5 mw = 12 kN/m od 0 do 5,5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

x_c = m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 120 mm i grubości 12 mm, wysokość całkowitą 360 mm i środnik o grubości 14 mm. Przenosi moment zginający 50 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σ_max w przekroju.

B = 120 mmH = 360 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = 110 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (5, 0, 2) − (−1, 5, −1) = (6, −5, 3) m

Praca

W = F·d = 15·6 + 5·(−5) + 15·3 = 110 J

Odpowiedź

W = 110 J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·4 − 3·4 = 4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−5) − (−1)·4 = −11

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·4 − 4·(−5) = 16

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−2)·4 + 2·(−11) + 2·16 = 2

V = |2| = 2

Odpowiedź

V = 2

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 52,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 50·3 − 60 = 0

R_B = 210/4 = 52,5 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 50 − 52,5 = −2,5 kN

Odpowiedź

R_B = 52,5 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 79,6 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·4 + 12·6,5

R_B = 398/5 = 79,6 kN

R_A = 92 − 79,6 = 12,4 kN

Odpowiedź

R_B = 79,6 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −19,57 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 → C_y = 17,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 17,5 = 2,5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −17,5/0,8944 = −19,57 kN

Odpowiedź

F_BC = −19,57 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = 13,33 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·1 − 30·3 → C_y = −8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − −8 = 58 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−8/0,6 = 13,33 kN

Odpowiedź

F_BC = 13,33 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 15,3 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 6·3/(0,5145·2) = 17,49 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (w stronę ściany)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −3 kN

Długość

A = √(15² + −3²) = 15,3 kN

Odpowiedź

A = 15,3 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 0,495 kN

Kierunek BC

BC = 5,25 m, cos = 0,6476, sin = 0,7619

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,7619·4 = 5·0,24 + 5·4

F_BC = 6,956 kN

Bilans poziomy

A_x + 5 − 6,956·0,6476 = 0

A_x = −0,495 kN → |A_x| = 0,495 kN

Odpowiedź

A_x = 0,495 kN

Znak minus oznacza, że A_x jest skierowane w lewo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 6 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 5·3 − 2·3·1,5 = 6 kN·m

Odpowiedź

M_x = 6 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 3,438 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·5,5 = 66 kN, przyłożona w x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5,5·2,75

R_B = 181,5/4 = 45,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45,38 = 20,63 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·20,63/12 = 3,438 m

Odpowiedź

x_c = 3,438 m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 45,89 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

środnik: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·267,5 + 2600·130)/7100 = 217,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 217,1)² = 1,149 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·260³/12 + 2600·(130 − 217,1)² = 3,439 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,149 × 10⁷ + 3,439 × 10⁷ = 4,589 × 10⁷ mm⁴ = 45,89 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 45,89 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_max = 68,45 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 360 − 2·12 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·360³ − 106·336³)/12

I_x = 1,315 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 180 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·180/1,315 × 10⁸ = 68,45 MPa

Odpowiedź

σ_max = 68,45 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics