W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Stała siła F = (0, 30, −10) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(−5, 1, −3) do punktu B(−1, 0, 1). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.
F = (0, 30, −10) NA(−5, 1, −3) mB(−1, 0, 1) m
W = J
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (2, 3, 5) i b = (−4, 1, 3) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂x.
a = (2, 3, 5)b = (−4, 1, 3)n̂z > 0
n̂x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1 m od A i moment skupiony M działający przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przyłożony w odległości 4 m od A. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
L = 6 mP = 10 kN w 1 mM = 60 kN·m (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) w 4 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 0,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 2,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji RA w podporze nieprzesuwnej A.
L = 4 mP = 15 kN w 0,5 m, θ = 30°Q = 55 kN w 2,5 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,96 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 5 kNAB = 3,2 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 0,96 m
T = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 2 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 2,5 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 10 kN. Wyznacz siłę T w linie.
W = 10 kNWb = 2 kNAB = 2 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 25 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 4 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 6 mM0 = 25 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 4 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 6 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 8 mP = 25 kN w 6 mw = 2 kN/m od 0 do 8 mx = 6 m
Mx = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Płyta 120 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 120 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σdół na dolnej krawędzi.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Przemieszczenie
d = B − A = (−1, 0, 1) − (−5, 1, −3) = (4, −1, 4) m
Praca
W = F·d = 0·4 + 30·(−1) + (−10)·4 = −70 J
Odpowiedź
W = −70 J
Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: n̂x = 0,1342
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·6 − 10·1 + 60 = 0
RB = −50/6 = −8,333 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 10 − (−8,333) = 18,33 kN
Odpowiedź
RB = −8,333 kN
Ujemna reakcja działa w dół.
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 30,13 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Składowe P
Pv = 15·sin 30° = 7,5 kN
Ph = 15·cos 30° = 12,99 kN
Reakcje
ΣMA = 0: RB·4 = 7,5·0,5 + 55·2,5 → RB = 35,31 kN
Ay = 7,5 + 55 − 35,31 = 27,19 kN
Ax = Ph = 12,99 kN
Wypadkowa w A
RA = √(12,99² + 27,19²) = 30,13 kN
Odpowiedź
RA = 30,13 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł G
FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł G
FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By = 5·0,96/3,2 = 1,5 kN
Noga BC: momenty względem C
1,5·1,6 = T·2,2
T = 1,091 kN
Odpowiedź
T = 1,091 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 14,09 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kąt liny
BC = √(2² + 2,5²) = 3,202 m, sin β = 0,7809
Momenty względem A
T·0,7809·2 = 10·2 + 2·1
T = 14,09 kN
Odpowiedź
T = 14,09 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = −16,67 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.
Reakcje podpór
Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 25/6 = 4,167 kN (w górę)
RA = −RB = −4,167 kN (w dół)
Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego
Lewa część zawiera tylko RA.
Mx = RA·a = −4,167·4 = −16,67 kN·m
Odpowiedź
Mx = −16,67 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 49,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·6 + 2·8·4
RB = 214/8 = 26,75 kN
ΣFy = 0: RA = 41 − 26,75 = 14,25 kN
Przetnij w x = 6 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 14,25·6 − 2·6·3 = 49,5 kN·m
Odpowiedź
Mx = 49,5 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (24000·100 − 706,9·120)/(24000 − 706,9) = 99,39 mm
Pełna płyta względem ȳ
120·200³/12 + 24000·0,6069² = 80,01 × 10⁶ mm⁴
Otwór względem ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·20,61² = 0,3399 × 10⁶ mm⁴
Odejmij
Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
Odpowiedź
Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: σdół = 123,3 MPa
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
środnik: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm