Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (0, −4, 6) i b = (−1, k, −2) są prostopadłe.

a = (0, −4, 6)b = (−1, k, −2)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(−4, 1, −1), B(−3, −3, −3) i C(4, −3, −3). Współrzędne podano w metrach.

A(−4, 1, −1)B(−3, −3, −3)C(4, −3, −3)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mP₁ = 30 kN w 1 mP₂ = 45 kN w 3 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP = 50 kN w 1,5 mw = 12 kN/m od 1 do 3 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 45 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 20 kN ↓F: 40 kN →G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3,6 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 2 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 2 kNAB = 3 mwysokość C = 3,6 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 0,6 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,2 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 12 kNAB = 3,2 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 1,2 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 6,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 35 kN w 6 mw = 4 kN/m od 0 do 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = 0·(−1) + (−4)·k + 6·(−2) = 0

−12 + (−4)·k = 0

Wyznacz k

k = −(−12)/(−4) = −3

Odpowiedź

k = −3

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 15,65 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (1, −4, −2)

AC = C − A = (8, −4, −2)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−4)·(−2) − (−2)·(−4) = 0

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−2)·8 − 1·(−2) = −14

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 1·(−4) − (−4)·8 = 28

|AB × AC| = √(0² + (−14)² + 28²) = 31,3

Pole trójkąta

A = ½·31,3 = 15,65 m²

Odpowiedź

A = 15,65 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 33 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1 + 45·3

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 33 = 42 kN

Odpowiedź

R_B = 33 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 43,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 12·2·2

R_B = 123/4 = 30,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 30,75 = 43,25 kN

Odpowiedź

R_A = 43,25 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 20 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 30 = 15 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,8321 = −36,06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−36,06)·0,5547 = 20 kN

Odpowiedź

F_AC = 20 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 98,33 kN (T), BC: 103,3 kN (T), CD: 103,3 kN (T), DE: 95 kN (T), FG: 98,33 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 72,92 kN (C), HE: 118,7 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 6,25 kN (C), DG: 10,42 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 0,2143 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 2·0,6/3 = 0,4 kN

Noga BC: momenty względem C

0,4·1,5 = T·2,8

T = 0,2143 kN

Odpowiedź

T = 0,2143 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 5,763 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 12·1,2/3,2 = 4,5 kN

Siła w ściągu

T = 4,5·1,6/2 = 3,6 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 3,6 kN, C_y = −4,5 kN

C = √(3,6² + 4,5²) = 5,763 kN

Odpowiedź

C = 5,763 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 80 kN, R₂ = 80 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 140, M_C = 240, M_D = 300 kN·m, M_E = 240, M_F = 140, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 300 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 58,88 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·6 + 4·8·4

R_B = 338/8 = 42,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 42,25 = 24,75 kN

Przetnij w x = 6,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 24,75·6,5 − 35·(6,5 − 6) − 4·6,5·3,25 = 58,88 kN·m

Odpowiedź

M_x = 58,88 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 19,81 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

środnik: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·187,5 + 3600·90)/5100 = 118,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·15³/12 + 1500·(187,5 − 118,7)² = 7,133 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·180³/12 + 3600·(90 − 118,7)² = 1,268 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,133 × 10⁶ + 1,268 × 10⁷ = 1,981 × 10⁷ mm⁴ = 19,81 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 19,81 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 35,88 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

środnik: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·205 + 2400·100)/4800 = 152,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·10³/12 + 2400·(205 − 152,5)² = 6,635 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·200³/12 + 2400·(100 − 152,5)² = 1,462 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,635 × 10⁶ + 1,462 × 10⁷ = 2,125 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 152,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·152,5/2,125 × 10⁷ = 35,88 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 35,88 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics