W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź kąt θ między wektorami a = (2, −1, −6) i b = (−5, 2, 5), w stopniach.
a = (2, −1, −6)b = (−5, 2, 5)
θ = °
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Siła F = (−60, 60, 40) N działa w punkcie A(−2, 0, 0). Współrzędne podano w metrach. Znajdź wartość |M| momentu tej siły względem punkt O(1, 1, −3).
F = (−60, 60, 40) NA(−2, 0, 0) mO(1, 1, −3) m
|M| = N·m
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 8 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 8 mAC = 10 mP1 = 30 kN w 2 mP2 = 10 kN w 10 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (2 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (6 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 3 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD. Wyznacz reakcję RD na podporze przesuwnej.
AC = 2 mAD = 6 mP = 20 kN w 3 mw = 4 kN/m od 2 do 6 m
RD = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 45 kN
FBC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
F: 40 kN ↓H: 20 kN ←
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2,4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3,6 m, a poziomy ściąg DE jest 2 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 5 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 5 kNAB = 2,4 mwysokość C = 3,6 mwysokość DE = 2 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 1 m. W punkcie C działa pozioma siła 4 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 4 kNAB = 3 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 40 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 8 mM0 = 40 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
30 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 100 mm i grubości 10 mm, wysokość całkowitą 480 mm i środnik o grubości 6 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości Sx przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.
B = 100 mmH = 480 mmtf = 10 mmtw = 6 mm
Sx = × 10³ mm³
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σgóra na górnej krawędzi.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 2·(−5) + (−1)·2 + (−6)·5 = −42
Długości
|a| = √(2² + (−1)² + (−6)²) = 6,403
|b| = √((−5)² + 2² + 5²) = 7,348
Kąt
cos θ = −42/(6,403·7,348) = −0,8926
θ = arccos(−0,8926) = 153,2°
Odpowiedź
θ = 153,2°
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: |M| = 331,1 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Wektor położenia od O do A
r = A − O = (−2, 0, 0) − (1, 1, −3) = (−3, −1, 3) m
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·8 = 30·2 + 10·10
RB = 160/8 = 20 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 30 + 10 − 20 = 20 kN
Odpowiedź
RB = 20 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RD = 13 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.
Część CD
W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.
W = 4·4 = 16 kN w 2 m od C
ΣMC = 0: RD·4 = 20·1 + 16·2
RD = 13 kN
VC = 36 − 13 = 23 kN
Odpowiedź
RD = 13 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FBC = −37,73 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 2,5 kN
T = 2,5·1,2/1,6 = 1,875 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 1,875 kN, Cy = −By = −2,5 kN
Długość
C = √(1,875² + 2,5²) = 3,125 kN
Odpowiedź
C = 3,125 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 3 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By·3 = 4·3
By = 4 kN
Noga BC: momenty względem C
4·1,5 = T·2
T = 3 kN
Odpowiedź
T = 3 kN
Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = −10 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.
Reakcje podpór
Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/8 = 5 kN (w górę)
RA = −RB = −5 kN (w dół)
Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego
Lewa część zawiera tylko RA.
Mx = RA·a = −5·2 = −10 kN·m
Odpowiedź
Mx = −10 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: E (x = 8 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Reakcje podpór
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
R1 = 30 kN, R2 = 75 kN
Moment zginający w każdym punkcie
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
MA = 0, MB = −60, MC = −60, MD = −60, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
Odpowiedź
Punkt E: ME = −140 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Sx = 663,1 × 10³ mm³
Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = Ic + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.
Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia
Oba wycięcia razem mają szerokość (B − tw) i wysokość hw = H − 2tf oraz wspólną oś x.
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
środnik: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm