W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (3, −4, 2) i b = (−1, 3, 0).
a = (3, −4, 2)b = (−1, 3, 0)
a·b =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Dla a = (−3, −1, 0) i b = (2, 2, −6) znajdź składową y, czyli (a × b)y, iloczynu wektorowego a × b.
a = (−3, −1, 0)b = (2, 2, −6)
(a × b)y =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 5 mAC = 8 mP1 = 50 kN w 4 mP2 = 25 kN w 8 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 8 mP = 25 kN w 4 mw = 2 kN/m od 5 do 8 m
RB = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 25 kN →
FBC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,125 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 20 kNAB = 3 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 1,125 m
T = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 3 m wysoko i 3,6 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 4 kN w punkcie K, w odległości 2,7 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 5 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji Ax w A.
P = 4 kNQ = 5 kNL = 6 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 3,6 modległość pozioma od A do K = 2,7 m
Ax = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
10 kN @ 2 m55 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 10 mP = 55 kN w 4 mw = 5 kN/m od 0 do 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Płyta 100 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 130 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 100 mmh = 200 mmwycięcie: 50 × 40 mmśrodek otworu: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Roztwory
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: a·b = −15
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Ujemny: kąt między wektorami jest większy niż 90°.
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: (a × b)y = −18
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy, składowa po składowej
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·(−6) − 0·2 = 6
(a × b)y = azbx − axbz = 0·2 − (−3)·(−6) = −18
(a × b)z = axby − aybx = (−3)·2 − (−1)·2 = −4
Żądana składowa
(a × b)y = −18
Odpowiedź
(a × b)y = −18
Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 80 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·5 = 50·4 + 25·8
RB = 400/5 = 80 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 50 + 25 − 80 = −5 kN
Odpowiedź
RB = 80 kN
RA jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 17,38 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·4 + 2·3·6,5
RB = 139/8 = 17,38 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 17,38 = 13,63 kN
Odpowiedź
RB = 17,38 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FAB = −12,37 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26,25 = 8,75 kN
Węzeł A
Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8,75/0,7071 = −12,37 kN
Odpowiedź
FAB = −12,37 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FBC = −34,36 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 + 25·4 → Cy = 33,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 33,33 = −13,33 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By = 20·1,125/3 = 7,5 kN
Noga BC: momenty względem C
7,5·1,5 = T·1
T = 11,25 kN
Odpowiedź
T = 11,25 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: Ax = 1,56 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kierunek BC
BC = 3,842 m, cos = 0,6247, sin = 0,7809
Cała rama: momenty względem A
FBC·0,7809·6 = 4·2,7 + 5·3
FBC = 5,507 kN
Bilans poziomy
Ax + 5 − 5,507·0,6247 = 0
Ax = −1,56 kN → |Ax| = 1,56 kN
Odpowiedź
Ax = 1,56 kN
Znak minus oznacza, że Ax jest skierowane w lewo.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: C (x = 4 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Reakcje podpór
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
R1 = 45 kN, R2 = 20 kN
Moment zginający w każdym punkcie
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
MA = 0, MB = 90, MC = 160 kN·m, MD = 120, ME = 80, MF = 40, MG = 0
Odpowiedź
Punkt C: MC = 160 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 192 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·4 + 5·10·5
RB = 470/10 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 47 = 58 kN
Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 58·4 − 5·4·2 = 192 kN·m
Odpowiedź
Mx = 192 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 52,99 × 10⁶ mm⁴
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
środnik: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (20000·100 − 2000·130)/(20000 − 2000) = 96,67 mm