Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (−5, −1, 4) i b = (3, −4, 7).

a = (−5, −1, 4)b = (3, −4, 7)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (−4, −1, 2) i b = (−4, −6, 4) znajdź składową x, czyli (a × b)_x, iloczynu wektorowego a × b.

a = (−4, −1, 2)b = (−4, −6, 4)

(a × b)_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 3,5 m od A i moment skupiony M działający przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przyłożony w odległości 4,5 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 5 mP = 10 kN w 3,5 mM = 50 kN·m (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) w 4,5 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP = 10 kN w 2 mw = 5 kN/m od 0 do 3 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 50 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 10 kN →

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 3 m, a B leży 3 m nad podłożem i 0,45 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,225 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 6 kNL = 3 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 0,45 modległość pozioma od A do K = 0,225 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 4 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 15 kNW_b = 1 kNAB = 2,5 mAC = 4 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 2,5 mP = 25 kN w 2 mw = 6 kN/m od 0 do 2,5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz odległość x₀ od A do przekroju, w którym moment zginający jest największy.

L = 6 mw = 10 kN/m od 0 do 4 m

x₀ = m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 260 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 140 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 10 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 260 mmh = 140 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = 17

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = (−5)·3 + (−1)·(−4) + 4·7 = (−15) + 4 + 28 = 17

Odpowiedź

a·b = 17

Dodatni: kąt między wektorami jest mniejszy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_x = 8

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·4 − 2·(−6) = 8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−4) − (−4)·4 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−6) − (−1)·(−4) = 20

Żądana składowa

(a × b)_x = 8

Odpowiedź

(a × b)_x = 8

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 13 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 10·3,5 + 50 = 0

R_B = −15/5 = −3 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 10 − (−3) = 13 kN

Odpowiedź

R_A = 13 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 5,313 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 5·3·1,5

R_B = 42,5/8 = 5,313 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 5,313 = 19,69 kN

Odpowiedź

R_B = 5,313 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −38,65 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12,5 = 37,5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37,5/0,9701 = −38,65 kN

Odpowiedź

F_AB = −38,65 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −37,37 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 10·4 → C_y = 36,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 36,25 = −1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36,25/0,9701 = −37,37 kN

Odpowiedź

F_BC = −37,37 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 0,5906 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(2,55² + 3²) = 3,937 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(3/3,937)·3 = 6·0,225

F_BC = 0,5906 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 0,5906 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 18,28 kN

Kąt liny

BC = √(2,5² + 4²) = 4,717 m, sin β = 0,848

Momenty względem A

T·0,848·2,5 = 15·2,5 + 1·1,25

T = 18,28 kN

Odpowiedź

T = 18,28 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −49,5 kN·m

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −25·1,5 = −37,5 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_x = −37,5 − 12 = −49,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = −49,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x₀ = 2,667 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4·2

R_B = 80/6 = 13,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 13,33 = 26,67 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 26,67/10 = 2,667 m

Odpowiedź

x₀ = 2,667 m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 10,05 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·10·130 = 2600 mm², y₂ = 10 + 130/2 = 75 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2600·5 + 2600·75)/5200 = 40 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 260·10³/12 + 2600·(5 − 40)² = 3,207 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·10·130³/12 + 2600·(75 − 40)² = 6,847 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,207 × 10⁶ + 6,847 × 10⁶

I_x = 1,005 × 10⁷ mm⁴ = 10,05 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 10,05 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 149 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

środnik: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·215 + 2800·100)/10600 = 184,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·30³/12 + 7800·(215 − 184,6)² = 7,783 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·200³/12 + 2800·(100 − 184,6)² = 2,938 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,783 × 10⁶ + 2,938 × 10⁷ = 3,717 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 184,6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·184,6/3,717 × 10⁷ = 149 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 149 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics