W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź rzut skalarny compb a wektora a = (3, 1, −6) na b = (6, −2, 2), czyli składową a w kierunku b.
a = (3, 1, −6)b = (6, −2, 2)
compb a =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (2, 0, −4), b = (−3, 4, −1) i c = (1, 5, 3).
a = (2, 0, −4)b = (−3, 4, −1)c = (1, 5, 3)
V =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A i moment skupiony M działający przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przyłożony w odległości 8 m od A. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
L = 10 mP = 55 kN w 5 mM = 40 kN·m (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) w 8 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (6 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 4 m od A i siłę skupioną Q w odległości 1 m od A. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.
AC = 3 mAD = 6 mP = 45 kN w 4 mQ = 10 kN w 1 m
MA = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
F: 40 kN ↓F: 15 kN →G: 15 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
7.Ramy i maszynyŚredni
Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,75 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 15 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.
P = 15 kNAD = 2 mAB = 2,5 mAC = 0,75 m
A = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 3 m wysoko i 1,2 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 6 kN w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 5 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji Ax w A.
P = 6 kNQ = 5 kNL = 4 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 1,2 modległość pozioma od A do K = 0,6 m
Ax = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
20 kN @ 3 m15 kN/m, 2–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
L = 10 mP = 65 kN w 3 mw = 12 kN/m od 0 do 10 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Płyta 150 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 150 mmh = 240 mmwycięcie: 80 × 20 mmśrodek otworu: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Roztwory
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: compb a = 0,603
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 3·6 + 1·(−2) + (−6)·2 = 4
Długość b
|b| = √(6² + (−2)² + 2²) = 6,633
Rzut skalarny
compb a = a·b/|b| = 4/6,633 = 0,603
Odpowiedź
compb a = 0,603
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: V = 110
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Iloczyn wektorowy b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 4·3 − (−1)·5 = 17
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·1 − (−3)·3 = 8
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·5 − 4·1 = −19
Iloczyn skalarny z a
a·(b × c) = 2·17 + 0·8 + (−4)·(−19) = 110
V = |110| = 110
Odpowiedź
V = 110
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 23,5 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·10 − 55·5 + 40 = 0
RB = 235/10 = 23,5 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 55 − 23,5 = 31,5 kN
Odpowiedź
RB = 23,5 kN
Ujemna reakcja działa w dół.
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: MA = 100 kN·m
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.
Część CD
W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.
ΣMC = 0: RD·3 = 45·1
RD = 15 kN
VC = 45 − 15 = 30 kN
Część AC
Siła w przegubie VC działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).
RA = 10 + 30 = 40 kN
MA = 10·1 + 30·3 = 100 kN·m
Odpowiedź
MA = 100 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt DH
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł D
CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w rozpórce
FCD = 15·2,5/(0,3511·2) = 53,4 kN
Składowe w A
Ax = FCD·cos α = 50 kN (w stronę ściany)
Ay = 15 − FCD·sin α = −3,75 kN
Długość
A = √(50² + −3,75²) = 50,14 kN
Odpowiedź
A = 50,14 kN
Ujemne Ay oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: Ax = 0,66 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kierunek BC
BC = 4,104 m, cos = 0,6823, sin = 0,7311
Cała rama: momenty względem A
FBC·0,7311·4 = 6·0,6 + 5·3
FBC = 6,361 kN
Bilans poziomy
Ax + 5 − 6,361·0,6823 = 0
Ax = −0,66 kN → |Ax| = 0,66 kN
Odpowiedź
Ax = 0,66 kN
Znak minus oznacza, że Ax jest skierowane w lewo.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: D (x = 3 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Reakcje podpór
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
R1 = 30 kN, R2 = 50 kN
Moment zginający w każdym punkcie
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
MA = 0, MB = 30, MC = 60, MD = 82,5 kN·m, ME = 70, MF = 42,5, MG = 0
Odpowiedź
Punkt D: MD = 82,5 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 263,3 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 65·3 + 12·10·5
RB = 795/10 = 79,5 kN
ΣFy = 0: RA = 185 − 79,5 = 105,5 kN
Gdzie V = 0?
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (105,5 − 65)/12 = 3,375 m
Moment maksymalny
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 3) − w·x0²/2 = 263,3 kN·m
Odpowiedź
Mmax = 263,3 kN·m
Występuje w x = 3,375 m od A.
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 78,62 × 10⁶ mm⁴
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm
środnik: Aw = 16·280 = 4480 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (36000·120 − 1600·168)/(36000 − 1600) = 117,8 mm