Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (−4, 2, 1) i b = (5, 2, −6), w stopniach.

a = (−4, 2, 1)b = (5, 2, −6)

θ = °

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (−5, 1, 0) i b = (0, 4, −3) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂_x.

a = (−5, 1, 0)b = (0, 4, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 15 kN/m w A do zera w B. W odległości 2,5 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 4 mw₀ = 15 kN/mP = 10 kN w 2,5 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mP = 35 kN w 2 mw = 5 kN/m od 0 do 2 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓C: 25 kN ↓F: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓H: 15 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1,2 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 12 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 12 kNAD = 0,75 mAB = 2,4 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 6 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2 m i poziomym ściągiem DE 1,2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 2,25 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 12 kNAB = 6 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1,2 modległość pozioma od A do K = 2,25 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 35 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 3 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mM₀ = 35 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 7,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 30 kN w 5 mw = 4 kN/m od 0 do 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 126,5 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−4)·5 + 2·2 + 1·(−6) = −22

Długości

|a| = √((−4)² + 2² + 1²) = 4,583

|b| = √(5² + 2² + (−6)²) = 8,062

Kąt

cos θ = −22/(4,583·8,062) = −0,5955

θ = arccos(−0,5955) = 126,5°

Odpowiedź

θ = 126,5°

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_x = 0,1191

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−3) − 0·4 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·0 − (−5)·(−3) = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·4 − 1·0 = −20

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √((−3)² + (−15)² + (−20)²) = 25,18

n̂ = −(−3, −15, −20)/25,18 = (0,1191, 0,5957, 0,7943)

n̂_x = 0,1191

Odpowiedź

n̂_x = 0,1191

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 16,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,333 + 10·2,5

R_B = 16,25 kN

R_A = 40 − 16,25 = 23,75 kN

Odpowiedź

R_B = 16,25 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 16 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 5·2·1

R_B = 80/5 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 16 = 29 kN

Odpowiedź

R_B = 16 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 98,99 kN (C), HE: 84,85 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 28,28 kN (T), HC: 42,43 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 35,42 kN (T), BC: 85,83 kN (T), CD: 85,83 kN (T), DE: 82,92 kN (T), FG: 50,42 kN (C), GH: 97,92 kN (C), AF: 63,02 kN (C), HE: 103,6 kN (C), BF: 37,81 kN (T), CG: 0, DH: 37,19 kN (T), BG: 63,02 kN (C), DG: 3,646 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 35,68 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 12·2,4/(0,848·0,75) = 45,28 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 24 kN (w stronę ściany)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −26,4 kN

Długość

A = √(24² + −26,4²) = 35,68 kN

Odpowiedź

A = 35,68 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 17,46 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 12·2,25/6 = 4,5 kN

Siła w ściągu

T = 4,5·3/0,8 = 16,88 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 16,88 kN, C_y = −4,5 kN

C = √(16,88² + 4,5²) = 17,46 kN

Odpowiedź

C = 17,46 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 14 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/5 = 7 kN (w górę)

R_A = −R_B = −7 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −7·3 + 35 = 14 kN·m

Odpowiedź

M_x = 14 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 16,88 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 4·8·4

R_B = 278/8 = 34,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 34,75 = 27,25 kN

Przetnij w x = 7,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 27,25·7,5 − 30·(7,5 − 5) − 4·7,5·3,75 = 16,88 kN·m

Odpowiedź

M_x = 16,88 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (20000·100 − 2827·60)/(20000 − 2827) = 106,6 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·200³/12 + 20000·−6,586² = 67,53 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−46,59² = 6,772 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 60,2 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·247,5 + 4800·120)/9300 = 181,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 181,7)² = 1,957 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·240³/12 + 4800·(120 − 181,7)² = 4,131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,957 × 10⁷ + 4,131 × 10⁷ = 6,088 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 255 − 181,7 = 73,31 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·73,31/6,088 × 10⁷ = 60,2 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 60,2 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics