W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź kąt θ między wektorami a = (3, −6, 3) i b = (−4, 0, −6), w stopniach.
a = (3, −6, 3)b = (−4, 0, −6)
θ = °
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (0, 4, −3) i b = (1, 5, −4) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂x.
a = (0, 4, −3)b = (1, 5, −4)n̂z > 0
n̂x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w od ściany do 4 m i siłę skupioną P w odległości 5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.
L = 6 mP = 40 kN w 5 mw = 12 kN/m od 0 do 4 m
MA = kN·m
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 10 mP = 60 kN w 5 mw = 12 kN/m od 0 do 3 m
RB = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 20 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 25 kN →
FAC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 6 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 3,6 m i poziomym ściągiem DE 2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,75 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 4 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 4 kNAB = 6 mwysokość C = 3,6 mwysokość DE = 2 modległość pozioma od A do K = 0,75 m
T = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 4 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Wyznacz siłę T w linie.
W = 2 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 4 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
15 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
L = 10 mP = 75 kN w 7 mw = 3 kN/m od 0 do 10 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 180 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 200 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 8 mm. Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 180 mmh = 200 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Spawany dwuteownik ma półkę górną 160 × 22 mm, środnik o wysokości 160 mm i grubości 12 mm oraz półkę dolną 190 × 14 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 3·(−4) + (−6)·0 + 3·(−6) = −30
Długości
|a| = √(3² + (−6)² + 3²) = 7,348
|b| = √((−4)² + 0² + (−6)²) = 7,211
Kąt
cos θ = −30/(7,348·7,211) = −0,5661
θ = arccos(−0,5661) = 124,5°
Odpowiedź
θ = 124,5°
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: n̂x = 0,1961
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy
(a × b)x = aybz − azby = 4·(−4) − (−3)·5 = −1
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·1 − 0·(−4) = −3
(a × b)z = axby − aybx = 0·5 − 4·1 = −4
Normalizacja
Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).
Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.
Wypadkowa obciążenia ciągłego
W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m
Moment względem ściany
MA = P·a + W·x̄ = 40·5 + 48·2 = 296 kN·m
Odpowiedź
MA = 296 kN·m
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 35,4 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·5 + 12·3·1,5
RB = 354/10 = 35,4 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 35,4 = 60,6 kN
Odpowiedź
RB = 35,4 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FAB = −5,657 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN
Węzeł A
Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.
sin α = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0,7071 = −5,657 kN
Odpowiedź
FAB = −5,657 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FAC = 28,75 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 + 25·2 → Cy = 57,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 57,5 = 2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By = 4·0,75/6 = 0,5 kN
Noga BC: momenty względem C
0,5·3 = T·1,6
T = 0,9375 kN
Odpowiedź
T = 0,9375 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 2,795 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kąt liny
BC = √(2² + 4²) = 4,472 m, sin β = 0,8944
Momenty względem A
T·0,8944·2 = 2·2 + 1·1
T = 2,795 kN
Odpowiedź
T = 2,795 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: D (x = 6 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Reakcje podpór
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
R1 = 67,5 kN, R2 = 67,5 kN
Moment zginający w każdym punkcie
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
MA = 0, MB = 135, MC = 240, MD = 285 kN·m, ME = 240, MF = 135, MG = 0
Odpowiedź
Punkt D: MD = 285 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 189 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 75·7 + 3·10·5
RB = 675/10 = 67,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 67,5 = 37,5 kN
Gdzie V = 0?
V(7⁻) = RA − w·7 = 16,5 kN
V(7⁺) = 16,5 − 75 = −58,5 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.
Moment maksymalny
Mmax = RA·7 − w·7²/2 = 37,5·7 − 3·7²/2 = 189 kN·m
Odpowiedź
Mmax = 189 kN·m
Występuje w x = 7 m od A.
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 19,25 × 10⁶ mm⁴
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na prostokąty
Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.
baza: A1 = 180·8 = 1440 mm², y1 = 4 mm
dwa ramiona: A2 = 2·8·192 = 3072 mm², y2 = 8 + 192/2 = 104 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.