Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (−30, 10, 30) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(−4, −2, −3) do punktu B(−2, 0, −5). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (−30, 10, 30) NA(−4, −2, −3) mB(−2, 0, −5) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−5, −5, 0), b = (1, −1, 0) i c = (4, 4, −3).

a = (−5, −5, 0)b = (1, −1, 0)c = (4, 4, −3)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 7 m od A i moment skupiony M działający przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przyłożony w odległości 6 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 8 mP = 75 kN w 7 mM = 15 kN·m (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) w 6 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 4 m od A działa siła P nachylona pod kątem 45° do poziomu, a w odległości 8 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 10 mP = 50 kN w 4 m, θ = 45°Q = 40 kN w 8 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 10 kN ↓D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓F: 40 kN ↓F: 15 kN →G: 20 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 2,7 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 1,08 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 15 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 2,7 modległość pozioma od A do K = 1,08 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 0,5 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 1 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 10 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.

W = 10 kNW_b = 0,5 kNAB = 6 mAC = 1 m

A = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 8 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 10 mP = 30 kN w 1 mw = 3 kN/m od 0 do 10 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 200 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 52,5 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 120 mm i grubości 14 mm, wysokość całkowitą 400 mm i środnik o grubości 10 mm. Przenosi moment zginający 120 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σ_max w przekroju.

B = 120 mmH = 400 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = −100 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (−2, 0, −5) − (−4, −2, −3) = (2, 2, −2) m

Praca

W = F·d = (−30)·2 + 10·2 + 30·(−2) = −100 J

Odpowiedź

W = −100 J

Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 30

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·(−3) − 0·4 = 3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·4 − 1·(−3) = 3

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·4 − (−1)·4 = 8

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−5)·3 + (−5)·3 + 0·8 = −30

V = |−30| = 30

Odpowiedź

V = 30

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 11,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 75·7 + 15 = 0

R_B = 510/8 = 63,75 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 75 − 63,75 = 11,25 kN

Odpowiedź

R_A = 11,25 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 45,86 kN

Składowe P

P_v = 50·sin 45° = 35,36 kN

P_h = 50·cos 45° = 35,36 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35,36·4 + 40·8 → R_B = 46,14 kN

A_y = 35,36 + 40 − 46,14 = 29,21 kN

A_x = P_h = 35,36 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(35,36² + 29,21²) = 45,86 kN

Odpowiedź

R_A = 45,86 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 57,5 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 77,5 kN (T), DE: 77,5 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 109,6 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 45,96 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 74,58 kN (T), BC: 74,58 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 74,48 kN (C), HE: 42,19 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 8,854 kN (C), HC: 42,19 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 4,471 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(3,3² + 2,5²) = 4,14 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/4,14)·6 = 15·1,08

F_BC = 4,471 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 4,471 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 61,5 kN

Siła w linie

T = (10 + 0,5/2)/0,1644 = 62,35 kN

Składowe w A

A_x = T·cos β = 61,5 kN

A_y = 10 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Długość

A = √(61,5² + 0,25²) = 61,5 kN

Odpowiedź

A = 61,5 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 25 kN, R₂ = 30 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100, M_D = 110, M_E = 120 kN·m, M_F = 60, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 120 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 54 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 3·10·5

R_B = 180/10 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 18 = 42 kN

Gdzie V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (42 − 30)/3 = 4 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 54 kN·m

Odpowiedź

M_max = 54 kN·m

Występuje w x = 4 m od A.

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 54,88 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·75 − 1963·52,5)/(30000 − 1963) = 76,58 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,576² = 56,32 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−24,08² = 1,445 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 54,88 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 54,88 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_max = 142,8 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 400 − 2·14 = 372 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·400³ − 110·372³)/12

I_x = 1,681 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 200 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·200/1,681 × 10⁸ = 142,8 MPa

Odpowiedź

σ_max = 142,8 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics