W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź rzut skalarny compb a wektora a = (−3, 3, −1) na b = (−3, 5, −4), czyli składową a w kierunku b.
a = (−3, 3, −1)b = (−3, 5, −4)
compb a =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Dla a = (5, 3, −2) i b = (6, −1, −5) znajdź składową x, czyli (a × b)x, iloczynu wektorowego a × b.
a = (5, 3, −2)b = (6, −1, −5)
(a × b)x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 5 mP1 = 45 kN w 2,5 mP2 = 30 kN w 4 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 4 mP = 20 kN w 1,5 mw = 4 kN/m od 0 do 2 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 20 kN ↓F: 40 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 40 kNobciążenie poziome = 25 kN →
FAC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,5 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 4 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.
P = 4 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 0,5 m
A = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1,5 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 4 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę T w linie.
W = 15 kNWb = 1,5 kNAB = 6 mAC = 4 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 50 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 9 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 10 mM0 = 50 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 9 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
L = 5 mw = 20 kN/m od 2 do 5 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 240 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 70 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 16 mm. Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 240 mmh = 70 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 170 mm i grubości 18 mm, wysokość całkowitą 500 mm i środnik o grubości 10 mm. Przenosi moment zginający 150 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σmax w przekroju.
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = (−3)·(−3) + 3·5 + (−1)·(−4) = 28
Długość b
|b| = √((−3)² + 5² + (−4)²) = 7,071
Rzut skalarny
compb a = a·b/|b| = 28/7,071 = 3,96
Odpowiedź
compb a = 3,96
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: (a × b)x = −17
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy, składowa po składowej
(a × b)x = aybz − azby = 3·(−5) − (−2)·(−1) = −17
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·6 − 5·(−5) = 13
(a × b)z = axby − aybx = 5·(−1) − 3·6 = −23
Żądana składowa
(a × b)x = −17
Odpowiedź
(a × b)x = −17
Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 46,5 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2,5 + 30·4
RB = 232,5/5 = 46,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,5 = 28,5 kN
Odpowiedź
RB = 46,5 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 18,5 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,5 + 4·2·1
RB = 38/4 = 9,5 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 9,5 = 18,5 kN
Odpowiedź
RA = 18,5 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·6 + 25·2 → Cy = 36,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 36,25 = 3,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w rozpórce
FCD = 4·2,5/(0,4472·1) = 22,36 kN
Składowe w A
Ax = FCD·cos α = 20 kN (w stronę ściany)
Ay = 4 − FCD·sin α = −6 kN
Długość
A = √(20² + −6²) = 20,88 kN
Odpowiedź
A = 20,88 kN
Ujemne Ay oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 28,39 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kąt liny
BC = √(6² + 4²) = 7,211 m, sin β = 0,5547
Momenty względem A
T·0,5547·6 = 15·6 + 1,5·3
T = 28,39 kN
Odpowiedź
T = 28,39 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = −45 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.
Reakcje podpór
Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 50/10 = 5 kN (w górę)
RA = −RB = −5 kN (w dół)
Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego
Lewa część zawiera tylko RA.
Mx = RA·a = −5·9 = −45 kN·m
Odpowiedź
Mx = −45 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 44,1 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·3·3,5
RB = 210/5 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 42 = 18 kN
Zerowa siła tnąca
Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na prostokąty
Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.
baza: A1 = 240·16 = 3840 mm², y1 = 8 mm
dwa ramiona: A2 = 2·16·54 = 1728 mm², y2 = 16 + 54/2 = 43 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia
Oba wycięcia razem mają szerokość (B − tw) i wysokość hw = H − 2tf oraz wspólną oś x.