Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (6, −3, 5) na b = (−5, 5, −4), czyli składową a w kierunku b.

a = (6, −3, 5)b = (−5, 5, −4)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (3, −2, 0) i b = (0, 5, −2) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową y, czyli n̂_y.

a = (3, −2, 0)b = (0, 5, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP₁ = 35 kN w 2 mP₂ = 55 kN w 4 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A i siłę skupioną Q w odległości 2 m od A. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 3 mAD = 8 mP = 70 kN w 5 mQ = 60 kN w 2 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓F: 40 kN ↓F: 10 kN →G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2,4 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,4 m i poziomym ściągiem DE 0,6 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,48 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 6 kNAB = 2,4 mwysokość C = 2,4 mwysokość DE = 0,6 modległość pozioma od A do K = 0,48 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2 m wysoko i 1,8 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 20 kN w punkcie K, w odległości 0,9 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 3 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 20 kNQ = 3 kNL = 6 mH = 2 modległość pozioma od A do B = 1,8 modległość pozioma od A do K = 0,9 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz siłę tnącą V_x tuż na lewo od podpory B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7,5 mP₁ = 80 kN w 2,5 mP₂ = 40 kN w 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 6,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 60 kN w 7 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 120 × 18 mm, środnik o wysokości 310 mm i grubości 16 mm oraz półkę dolną 230 × 14 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 120 × 18 mmśrodnik: 16 × 310 mmpółka dolna: 230 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −8,001

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 6·(−5) + (−3)·5 + 5·(−4) = −65

Długość b

|b| = √((−5)² + 5² + (−4)²) = 8,124

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −65/8,124 = −8,001

Odpowiedź

comp_b a = −8,001

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_y = 0,3605

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−2) − 0·5 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·0 − 3·(−2) = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·5 − (−2)·0 = 15

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest już dodatnia.

|a × b| = √(4² + 6² + 15²) = 16,64

n̂ = (4, 6, 15)/16,64 = (0,2403, 0,3605, 0,9013)

n̂_y = 0,3605

Odpowiedź

n̂_y = 0,3605

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 36,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·2 + 55·4

R_B = 290/8 = 36,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 36,25 = 53,75 kN

Odpowiedź

R_B = 36,25 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 246 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 70·2

R_D = 28 kN

V_C = 70 − 28 = 42 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 60 + 42 = 102 kN

M_A = 60·2 + 42·3 = 246 kN·m

Odpowiedź

M_A = 246 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −10,94 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,8 = −10,94 kN

Odpowiedź

F_BC = −10,94 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 55 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 63,64 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 7,071 kN (C), HC: 21,21 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 0,8 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 6·0,48/2,4 = 1,2 kN

Noga BC: momenty względem C

1,2·1,2 = T·1,8

T = 0,8 kN

Odpowiedź

T = 0,8 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 5,4 kN

Kierunek BC

BC = 4,652 m, cos = 0,9029, sin = 0,4299

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,4299·6 = 20·0,9 + 3·2

F_BC = 9,304 kN

Bilans poziomy

A_x + 3 − 9,304·0,9029 = 0

A_x = 5,4 kN → |A_x| = 5,4 kN

Odpowiedź

A_x = 5,4 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −43,33 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·2,5 + 40·7,5

R_B = 500/6 = 83,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 83,33 = 36,67 kN

Przekrój tuż na lewo od B, zostaw lewą część

V_x = R_A − P₁ = 36,67 − 80 = −43,33 kN

Odpowiedź

V_x = −43,33 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 97,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·7 + 10·8·4

R_B = 740/8 = 92,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 92,5 = 47,5 kN

Przetnij w x = 6,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 47,5·6,5 − 10·6,5·3,25 = 97,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 97,5 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 6,257 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

środnik: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·135 + 960·60)/6960 = 124,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·30³/12 + 6000·(135 − 124,7)² = 1,092 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·120³/12 + 960·(60 − 124,7)² = 5,165 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,092 × 10⁶ + 5,165 × 10⁶ = 6,257 × 10⁶ mm⁴ = 6,257 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 6,257 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 179,7 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 2160 mm², y = 333 mm

środnik: A = 4960 mm², y = 169 mm

półka dolna: A = 3220 mm², y = 7 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2160·333 + 4960·169 + 3220·7)/10340 = 152,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 120·18³/12 + 2160·180,2² = 7,019 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·310³/12 + 4960·16,19² = 4,102 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 230·14³/12 + 3220·145,8² = 6,851 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,019 × 10⁷ + 4,102 × 10⁷ + 6,851 × 10⁷

I_x = 1,797 × 10⁸ mm⁴ = 179,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 179,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics