Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−6, −2, 2) na b = (−6, −4, −2), czyli składową a w kierunku b.

a = (−6, −2, 2)b = (−6, −4, −2)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (5, 3, −4), b = (2, −1, −3) i c = (−4, −2, −1).

a = (5, 3, −4)b = (2, −1, −3)c = (−4, −2, −1)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 12 kN/m w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mw₀ = 12 kN/m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 4 mP = 15 kN w 1 mw = 8 kN/m od 0 do 3 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 5 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,4 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,875 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 12 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 12 kNAB = 5 mwysokość C = 2,4 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 1,875 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Belka AB pokazanego wspornika ściennego jest zamocowana przegubowo w A i podparta rozpórką CD (C leży 1,2 m poniżej A). Belka niesie obciążenie ciągłe 3 kN/m na całej długości oraz obciążenie skupione 2 kN na swobodnym końcu B. Wyznacz siłę F_CD w rozpórce.

w = 3 kN/mP = 2 kNAD = 1 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

F_CD = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 9,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 5 kN/m od 0 do 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 10,5 mw = 2 kN/m od 0 do 10,5 mpodpory w x = 0 i x = 8 m

x_c = m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 100 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 200 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 8 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 100 mmh = 200 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 180 mm i grubości 20 mm, wysokość całkowitą 360 mm i środnik o grubości 8 mm. Przenosi moment zginający 30 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_j na styku środnika z górną półką.

B = 180 mmH = 360 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 5,345

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−6)·(−6) + (−2)·(−4) + 2·(−2) = 40

Długość b

|b| = √((−6)² + (−4)² + (−2)²) = 7,483

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 40/7,483 = 5,345

Odpowiedź

comp_b a = 5,345

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 49

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·(−1) − (−3)·(−2) = −5

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−4) − 2·(−1) = 14

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·(−2) − (−1)·(−4) = −8

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 5·(−5) + 3·14 + (−4)·(−8) = 49

V = |49| = 49

Odpowiedź

V = 49

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 32 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48·5,333

R_B = 32 kN

R_A = 48 − 32 = 16 kN

Odpowiedź

R_B = 32 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 12,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 8·3·1,5

R_B = 51/4 = 12,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 12,75 = 26,25 kN

Odpowiedź

R_B = 12,75 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 24,38 kN (T), BC: 24,38 kN (T), CD: 35,62 kN (T), DE: 35,62 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 40,63 kN (C), HE: 59,37 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 28,13 kN (T), HC: 9,375 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 2,083 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 − 15·2 → C_y = 0,8333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 0,8333 = 34,17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −0,8333/0,3714 = −2,244 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−2,244)·0,9285 = 2,083 kN

Odpowiedź

F_AC = 2,083 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 8,036 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 12·1,875/5 = 4,5 kN

Noga BC: momenty względem C

4,5·2,5 = T·1,4

T = 8,036 kN

Odpowiedź

T = 8,036 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_CD = 8,298 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

w·L = 3·1,5 = 4,5 kN w 0,75 m

Momenty względem A dla belki

F_CD·0,7682·1 = 4,5·0,75 + 2·1,5 = 6,375 kN·m

F_CD = 8,298 kN

Odpowiedź

F_CD = 8,298 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 11,88 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Przetnij w x = 9,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 25·9,5 − 5·9,5·4,75 = 11,88 kN·m

Odpowiedź

M_x = 11,88 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 7,219 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·10,5 = 21 kN, przyłożona w x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·10,5·5,25

R_B = 110,3/8 = 13,78 kN

ΣF_y = 0: R_A = 21 − 13,78 = 7,219 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·7,219/2 = 7,219 m

Odpowiedź

x_c = 7,219 m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 83,34 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 100·8 = 800 mm², y₁ = 4 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·8·192 = 3072 mm², y₂ = 8 + 192/2 = 104 mm

Środek ciężkości

ȳ = (800·4 + 3072·104)/3872 = 83,34 mm

Odpowiedź

ȳ = 83,34 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_j = 20,85 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 360 − 2·20 = 320 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·360³ − 172·320³)/12

I_x = 2,302 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 180 − 20 = 160 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·160/2,302 × 10⁸ = 20,85 MPa

Odpowiedź

σ_j = 20,85 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics