W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź kąt θ między wektorami a = (4, 6, 2) i b = (3, 5, 4), w stopniach.
a = (4, 6, 2)b = (3, 5, 4)
θ = °
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (2, 5, 5) i b = (−5, −5, 4) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową y, czyli n̂y.
a = (2, 5, 5)b = (−5, −5, 4)n̂z > 0
n̂y =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 75 kN w 5 mP2 = 65 kN w 10 m
RA = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 2 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 5 m do swobodnego końca w 10 m. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 6 mAC = 10 mP = 10 kN w 2 mw = 4 kN/m od 5 do 10 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 35 kN ↓F: 25 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 8 m, a B leży 4 m nad podłożem i 4,8 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 2,88 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę FBC w pręcie BC.
P = 5 kNL = 8 mH = 4 modległość pozioma od A do B = 4,8 modległość pozioma od A do K = 2,88 m
FBC = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 2,5 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.
W = 2 kNWb = 1 kNAB = 3 mAC = 2,5 m
A = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Wyznacz siłę tnącą Vx w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 6 mw = 5 kN/m od 0 do 6 mx = 2,5 m
Vx = kN
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający MB nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 6 mw = 3 kN/m od 0 do 6 mpodpory w x = 0 i x = 5 m
MB = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Płyta 120 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 156 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Płyta 150 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 105 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 150 mmh = 150 mmwycięcie: 80 × 50 mmśrodek otworu: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Roztwory
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: θ = 19,11 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 4·3 + 6·5 + 2·4 = 50
Długości
|a| = √(4² + 6² + 2²) = 7,483
|b| = √(3² + 5² + 4²) = 7,071
Kąt
cos θ = 50/(7,483·7,071) = 0,9449
θ = arccos(0,9449) = 19,11°
Odpowiedź
θ = 19,11°
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: n̂y = −0,5711
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·6 = 75·5 + 65·10
RB = 1025/6 = 170,8 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 75 + 65 − 170,8 = −30,83 kN
Odpowiedź
RA = −30,83 kN
RA jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 1,667 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Wypadkowa obciążenia ciągłego
W = 4·5 = 20 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2 + 20·7,5
RB = 170/6 = 28,33 kN
RA = 30 − 28,33 = 1,667 kN
Odpowiedź
RA = 1,667 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł G
FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Pręt dwusiłowy BC
BC = √(3,2² + 4²) = 5,122 m
Cała rama: momenty względem A
Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.
FBC·(4/5,122)·8 = 5·2,88
FBC = 2,305 kN (ściskanie)
Odpowiedź
FBC = 2,305 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: A = 3,041 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w linie
T = (2 + 1/2)/0,6402 = 3,905 kN
Składowe w A
Ax = T·cos β = 3 kN
Ay = 2 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Długość
A = √(3² + 0,5²) = 3,041 kN
Odpowiedź
A = 3,041 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Vx = 2,5 kN
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
V = RA − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)
Vx = 15 − 5·2,5 = 2,5 kN
Odpowiedź
Vx = 2,5 kN
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: MB = −1,5 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·6·3
RB = 54/5 = 10,8 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 10,8 = 7,2 kN
Przekrój w B, zostaw wspornik
Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.
MB = −w·a²/2 = −3·1²/2 = −1,5 kN·m
Odpowiedź
MB = −1,5 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (28800·120 − 1257·156)/(28800 − 1257) = 118,4 mm
Pełna płyta względem ȳ
120·240³/12 + 28800·1,642² = 138,3 × 10⁶ mm⁴
Otwór względem ȳ
π·40⁴/64 + 1257·37,64² = 1,906 × 10⁶ mm⁴
Odejmij
Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴
Odpowiedź
Ix = 136,4 × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 36,98 × 10⁶ mm⁴
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (22500·75 − 4000·105)/(22500 − 4000) = 68,51 mm