Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−4, 6, 6) i b = (1, k, 2) są prostopadłe.

a = (−4, 6, 6)b = (1, k, 2)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (−10, 30, 0) N działa w punkcie A(1, 3, −2). Współrzędne podano w metrach. Znajdź wartość |M| momentu tej siły względem początek układu O(0, 0, 0).

F = (−10, 30, 0) NA(1, 3, −2) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 12 kN/m w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mw₀ = 12 kN/m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 4 mP = 30 kN w 1,5 mw = 10 kN/m od 0 do 2 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 55 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 20 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,2 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 4 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 4 kNAB = 3,2 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 1,2 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Belka AB pokazanego wspornika ściennego jest zamocowana przegubowo w A i podparta rozpórką CD (C leży 1,5 m poniżej A). Belka niesie obciążenie ciągłe 3 kN/m na całej długości oraz obciążenie skupione 8 kN na swobodnym końcu B. Wyznacz siłę F_CD w rozpórce.

w = 3 kN/mP = 8 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 2 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 25 kN w 4,5 mw = 3 kN/m od 0 do 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 120 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = −1,333

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−4)·1 + 6·k + 6·2 = 0

8 + 6·k = 0

Wyznacz k

k = −8/6 = −1,333

Odpowiedź

k = −1,333

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: |M| = 87,18 N·m

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (1, 3, −2) − (0, 0, 0) = (1, 3, −2) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·0 − (−2)·30 = 60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·(−10) − 1·0 = 20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·30 − 3·(−10) = 60 N·m

Długość

|M| = √(60² + 20² + 60²) = 87,18 N·m

Odpowiedź

|M| = 87,18 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 32 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48·5,333

R_B = 32 kN

R_A = 48 − 32 = 16 kN

Odpowiedź

R_B = 32 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 16,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,5 + 10·2·1

R_B = 65/4 = 16,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 16,25 = 33,75 kN

Odpowiedź

R_B = 16,25 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 14,67 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 → C_y = 11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 11 = 44 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11/0,6 = −18,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,33)·0,8 = 14,67 kN

Odpowiedź

F_AC = 14,67 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = 5,154 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 − 20·4 → C_y = −5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −5 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−5/0,9701 = 5,154 kN

Odpowiedź

F_BC = 5,154 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 0,75 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 4·1,2/3,2 = 1,5 kN

Noga BC: momenty względem C

1,5·1,6 = T·3,2

T = 0,75 kN

Odpowiedź

T = 0,75 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_CD = 21,78 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

w·L = 3·1,5 = 4,5 kN w 0,75 m

Momenty względem A dla belki

F_CD·0,8824·0,8 = 4,5·0,75 + 8·1,5 = 15,38 kN·m

F_CD = 21,78 kN

Odpowiedź

F_CD = 21,78 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 9 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 6·3 − 2·3·1,5 = 9 kN·m

Odpowiedź

M_x = 9 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 38,25 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4,5 + 3·6·3

R_B = 166,5/6 = 27,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 27,75 = 15,25 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 15,25·4,5 − 3·4,5·2,25 = 38,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 38,25 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 20,57 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

środnik: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·205 + 2800·100)/4400 = 138,2 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·10³/12 + 1600·(205 − 138,2)² = 7,157 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·200³/12 + 2800·(100 − 138,2)² = 1,342 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,157 × 10⁶ + 1,342 × 10⁷ = 2,057 × 10⁷ mm⁴ = 20,57 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 20,57 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 25,1 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (9000·235 + 2640·110)/11640 = 206,6 mm

krawędź górna: c = 250 − 206,6 = 43,35 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 300·30³/12 + 9000·28,35² + 12·220³/12 + 2640·96,65² = 4,322 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 35·4,322 × 10⁷/43,35 = 34,89 kN·m

krawędź dolna: M = 120·4,322 × 10⁷/206,6 = 25,1 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 25,1 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 25,1 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics