Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (−15, −30, 15) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(−5, 3, −5) do punktu B(4, 5, −3). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (−15, −30, 15) NA(−5, 3, −5) mB(4, 5, −3) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (−2, 6, −6) i b = (1, −2, 2) znajdź składową y, czyli (a × b)_y, iloczynu wektorowego a × b.

a = (−2, 6, −6)b = (1, −2, 2)

(a × b)_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP₁ = 40 kN w 1 mP₂ = 15 kN w 1,5 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (4 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A i siłę skupioną Q w odległości 1 m od A. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 4 mAD = 8 mP = 70 kN w 5 mQ = 10 kN w 1 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 25 kN →

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4 m, a poziomy ściąg DE jest 0,8 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 8 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 8 kNAB = 4 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 0,8 m

C = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 8 m, a B leży 2,5 m wysoko i 4,8 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 6 kN w punkcie K, w odległości 1,92 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 10 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 6 kNQ = 10 kNL = 8 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 4,8 modległość pozioma od A do K = 1,92 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 30 kN w 5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 55 kN w 1 mw = 2 kN/m od 0 do 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 40 MPa przy rozciąganiu i 120 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = −165 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (4, 5, −3) − (−5, 3, −5) = (9, 2, 2) m

Praca

W = F·d = (−15)·9 + (−30)·2 + 15·2 = −165 J

Odpowiedź

W = −165 J

Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_y = −2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·2 − (−6)·(−2) = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·1 − (−2)·2 = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−2) − 6·1 = −2

Żądana składowa

(a × b)_y = −2

Odpowiedź

(a × b)_y = −2

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 39,38 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 15·1,5

R_B = 62,5/4 = 15,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 15,63 = 39,38 kN

Odpowiedź

R_A = 39,38 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 220 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 70·1

R_D = 17,5 kN

V_C = 70 − 17,5 = 52,5 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 10 + 52,5 = 62,5 kN

M_A = 10·1 + 52,5·4 = 220 kN·m

Odpowiedź

M_A = 220 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −23,48 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 14 = 21 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21/0,8944 = −23,48 kN

Odpowiedź

F_AB = −23,48 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −1,118 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 + 25·4 → C_y = 34 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 34 = 1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1/0,8944 = −1,118 kN

Odpowiedź

F_AB = −1,118 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 4,717 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w ściągu z nogi BC

B_y = 4 kN

T = 4·2/3,2 = 2,5 kN

Składowe siły w przegubie na BC

C_x = T = 2,5 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Długość

C = √(2,5² + 4²) = 4,717 kN

Odpowiedź

C = 4,717 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 4,157 kN

Kierunek BC

BC = 4,061 m, cos = 0,788, sin = 0,6156

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,6156·8 = 6·1,92 + 10·2,5

F_BC = 7,415 kN

Bilans poziomy

A_x + 10 − 7,415·0,788 = 0

A_x = −4,157 kN → |A_x| = 4,157 kN

Odpowiedź

A_x = 4,157 kN

Znak minus oznacza, że A_x jest skierowane w lewo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −76 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −30·2 = −60 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_x = −60 − 16 = −76 kN·m

Odpowiedź

M_x = −76 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 55,13 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 2·8·4

R_B = 119/8 = 14,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 14,88 = 56,13 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 56,13·1 − 2·1·0,5 = 55,13 kN·m

Odpowiedź

M_x = 55,13 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 5,385 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

środnik: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·110 + 1400·50)/7000 = 98 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·20³/12 + 5600·(110 − 98)² = 993067 mm⁴

środnik: 14·100³/12 + 1400·(50 − 98)² = 4,392 × 10⁶ mm⁴

I_x = 993067 + 4,392 × 10⁶ = 5,385 × 10⁶ mm⁴ = 5,385 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 5,385 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 13,04 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (1800·265 + 5200·130)/7000 = 164,7 mm

krawędź górna: c = 270 − 164,7 = 105,3 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 180·10³/12 + 1800·100,3² + 20·260³/12 + 5200·34,71² = 5,368 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment dodatni: góra jest ściskana, dół rozciągany.

krawędź górna: M = 120·5,368 × 10⁷/105,3 = 61,18 kN·m

krawędź dolna: M = 40·5,368 × 10⁷/164,7 = 13,04 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 13,04 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 13,04 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics