Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (4, 7, 7) i b = (−2, 4, 1).

a = (4, 7, 7)b = (−2, 4, 1)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−4, −3, −2), b = (4, −1, 2) i c = (−5, 0, 4).

a = (−4, −3, −2)b = (4, −1, 2)c = (−5, 0, 4)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 4 m od ściany. Wyznacz reakcję pionową R_A w ścianie.

L = 10 mP = 80 kN w 4 mw = 5 kN/m od 0 do 10 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 45° do poziomu, a w odległości 3,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 6 mP = 30 kN w 2 m, θ = 45°Q = 80 kN w 3,5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 35 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN →H: 20 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 4 m nad podłożem i 1,2 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,48 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 12 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 12 kNL = 4 mH = 4 modległość pozioma od A do B = 1,2 modległość pozioma od A do K = 0,48 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 5 m, a B leży 4 m wysoko i 2,25 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 20 kN w punkcie K, w odległości 0,9 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 10 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 20 kNQ = 10 kNL = 5 mH = 4 modległość pozioma od A do B = 2,25 modległość pozioma od A do K = 0,9 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 2 kN/m od 0 do 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5,5 mw = 8 kN/m od 0 do 5,5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

M_B = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 230 mm i grubości 22 mm, wysokość całkowitą 420 mm i środnik o grubości 12 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi centralnej x.

B = 230 mmH = 420 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 60 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 200 mmwycięcie: 60 × 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = 27

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = 4·(−2) + 7·4 + 7·1 = (−8) + 28 + 7 = 27

Odpowiedź

a·b = 27

Dodatni: kąt między wektorami jest mniejszy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 104

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·4 − 2·0 = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−5) − 4·4 = −26

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·0 − (−1)·(−5) = −5

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−4)·(−4) + (−3)·(−26) + (−2)·(−5) = 104

V = |104| = 104

Odpowiedź

V = 104

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 130 kN

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m

Równowaga sił pionowych

R_A = P + W = 80 + 50 = 130 kN

Odpowiedź

R_A = 130 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 52 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 30·sin 45° = 21,21 kN

P_h = 30·cos 45° = 21,21 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·6 = 21,21·2 + 80·3,5 → R_B = 53,74 kN

A_y = 21,21 + 80 − 53,74 = 47,48 kN

A_x = P_h = 21,21 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(21,21² + 47,48²) = 52 kN

Odpowiedź

R_A = 52 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 47,5 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 10,61 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 66,25 kN (T), BC: 66,25 kN (T), CD: 58,75 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 83,09 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 5,303 kN (C), HC: 5,303 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 1,758 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(2,8² + 4²) = 4,883 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(4/4,883)·4 = 12·0,48

F_BC = 1,758 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 1,758 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 2,025 kN

Kierunek BC

BC = 4,854 m, cos = 0,5665, sin = 0,824

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,824·5 = 20·0,9 + 10·4

F_BC = 14,08 kN

Bilans poziomy

A_x + 10 − 14,08·0,5665 = 0

A_x = −2,025 kN → |A_x| = 2,025 kN

Odpowiedź

A_x = 2,025 kN

Znak minus oznacza, że A_x jest skierowane w lewo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 4 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 5·4 − 2·4·2 = 4 kN·m

Odpowiedź

M_x = 4 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −9 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5,5 = 44 kN, przyłożona w x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·5,5·2,75

R_B = 121/4 = 30,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 30,25 = 13,75 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −8·1,5²/2 = −9 kN·m

Odpowiedź

M_B = −9 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 454,3 × 10⁶ mm⁴

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 420 − 2·22 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·420³ − 218·376³)/12

I_x = 4,543 × 10⁸ mm⁴ = 454,3 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 454,3 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 94,04 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·100 − 3000·60)/(30000 − 3000) = 104,4 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·200³/12 + 30000·−4,444² = 100,6 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

60·50³/12 + 3000·−44,44² = 6,551 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 94,04 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 94,04 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics