Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (5, −6, 2) na b = (6, 3, 6), czyli składową a w kierunku b.

a = (5, −6, 2)b = (6, 3, 6)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (−3, 1, 4) i b = (3, −3, 5) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂_x.

a = (−3, 1, 4)b = (3, −3, 5)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 20 kN/m w B. W odległości 4 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mw₀ = 20 kN/mP = 45 kN w 4 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 60° do poziomu, a w odległości 1 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 4 mP = 70 kN w 2,5 m, θ = 60°Q = 60 kN w 1 m

α = °

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓C: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 35 kN ↓H: 10 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓H: 10 kN ↓H: 20 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 2 kNAD = 1,2 mAB = 1,5 mAC = 1 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Belka AB pokazanego wspornika ściennego jest zamocowana przegubowo w A i podparta rozpórką CD (C leży 0,75 m poniżej A). Belka niesie obciążenie ciągłe 3 kN/m na całej długości oraz obciążenie skupione 3 kN na swobodnym końcu B. Wyznacz siłę F_CD w rozpórce.

w = 3 kN/mP = 3 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

30 kN @ 6 m12 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 0 m60 kN @ 6 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 220 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 100 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 20 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 220 mmh = 100 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 180 × 12 mm, środnik o wysokości 310 mm i grubości 10 mm oraz półkę dolną 240 × 12 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 180 × 12 mmśrodnik: 10 × 310 mmpółka dolna: 240 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 2,667

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 5·6 + (−6)·3 + 2·6 = 24

Długość b

|b| = √(6² + 3² + 6²) = 9

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 24/9 = 2,667

Odpowiedź

comp_b a = 2,667

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_x = 0,5236

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·5 − 4·(−3) = 17

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·3 − (−3)·5 = 27

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−3) − 1·3 = 6

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest już dodatnia.

|a × b| = √(17² + 27² + 6²) = 32,47

n̂ = (17, 27, 6)/32,47 = (0,5236, 0,8317, 0,1848)

n̂_x = 0,5236

Odpowiedź

n̂_x = 0,5236

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 49,17 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·20·8 = 80 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·5,333 + 45·4

R_B = 75,83 kN

R_A = 125 − 75,83 = 49,17 kN

Odpowiedź

R_A = 49,17 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 62,67 °

Składowe P

P_v = 70·sin 60° = 60,62 kN

P_h = 70·cos 60° = 35 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60,62·2,5 + 60·1 → R_B = 52,89 kN

A_y = 60,62 + 60 − 52,89 = 67,73 kN

A_x = P_h = 35 kN

Kierunek w A

α = atan(A_y/A_x) = atan(67,73/35) = 62,67°

Odpowiedź

α = 62,67°

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 62,5 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 88,39 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 17,68 kN (T), HC: 45,96 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 16,87 kN (T), BC: 23,75 kN (T), CD: 23,75 kN (T), DE: 30,62 kN (T), FG: 36,88 kN (C), GH: 50,63 kN (C), AF: 61,46 kN (C), HE: 51,04 kN (C), BF: 29,17 kN (T), CG: 0, DH: 30,83 kN (T), BG: 11,46 kN (C), DG: 11,46 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 3,041 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 2·1,5/(0,6402·1,2) = 3,905 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 3 kN (w stronę ściany)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −0,5 kN

Długość

A = √(3² + −0,5²) = 3,041 kN

Odpowiedź

A = 3,041 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_CD = 14,39 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

w·L = 3·1,5 = 4,5 kN w 0,75 m

Momenty względem A dla belki

F_CD·0,6839·0,8 = 4,5·0,75 + 3·1,5 = 7,875 kN·m

F_CD = 14,39 kN

Odpowiedź

F_CD = 14,39 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 47 kN, R₂ = 79 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 94, M_C = 188, M_D = 258 kN·m, M_E = 220, M_F = 134, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 258 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 36,67 kN, R₂ = 93,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −53,33, M_D = −86,67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −120 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 31,05 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 220·20 = 4400 mm², y₁ = 10 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·20·80 = 3200 mm², y₂ = 20 + 80/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (4400·10 + 3200·60)/7600 = 31,05 mm

Odpowiedź

ȳ = 31,05 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 153,9 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 2160 mm², y = 328 mm

środnik: A = 3100 mm², y = 167 mm

półka dolna: A = 2880 mm², y = 6 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2160·328 + 3100·167 + 2880·6)/8140 = 152,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 180·12³/12 + 2160·175,2² = 6,636 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·310³/12 + 3100·14,24² = 2,545 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 240·12³/12 + 2880·146,8² = 6,206 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,636 × 10⁷ + 2,545 × 10⁷ + 6,206 × 10⁷

I_x = 1,539 × 10⁸ mm⁴ = 153,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 153,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics