Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (2, −6, −1) i b = (−2, 1, 1), w stopniach.

a = (2, −6, −1)b = (−2, 1, 1)

θ = °

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(3, 3, −2), B(0, −2, 1) i C(−2, −2, 1). Współrzędne podano w metrach.

A(3, 3, −2)B(0, −2, 1)C(−2, −2, 1)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 20 kN/m w A do zera w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mw₀ = 20 kN/m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP = 10 kN w 2,5 mw = 8 kN/m od 0 do 4 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 2,7 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 1,35 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 12 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 12 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 2,7 modległość pozioma od A do K = 1,35 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 2 m wysoko i 0,6 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 20 kN w punkcie K, w odległości 0,24 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 3 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 20 kNQ = 3 kNL = 4 mH = 2 modległość pozioma od A do B = 0,6 modległość pozioma od A do K = 0,24 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 8 kN/m od 0 do 6 mx = 1,5 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 15 kN w 4 mw = 4 kN/m od 0 do 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 200 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 30 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 156 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 240 mmwycięcie: 30 × 20 mmśrodek otworu: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 134,5 °

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 2·(−2) + (−6)·1 + (−1)·1 = −11

Długości

|a| = √(2² + (−6)² + (−1)²) = 6,403

|b| = √((−2)² + 1² + 1²) = 2,449

Kąt

cos θ = −11/(6,403·2,449) = −0,7013

θ = arccos(−0,7013) = 134,5°

Odpowiedź

θ = 134,5°

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 5,831 m²

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (−3, −5, 3)

AC = C − A = (−5, −5, 3)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−5)·3 − 3·(−5) = 0

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·(−5) − (−3)·3 = −6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−5) − (−5)·(−5) = −10

|AB × AC| = √(0² + (−6)² + (−10)²) = 11,66

Pole trójkąta

A = ½·11,66 = 5,831 m²

Odpowiedź

A = 5,831 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 26,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·20·8 = 80 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·2,667

R_B = 26,67 kN

R_A = 80 − 26,67 = 53,33 kN

Odpowiedź

R_B = 26,67 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 19,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2,5 + 8·4·2

R_B = 89/4 = 22,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 22,25 = 19,75 kN

Odpowiedź

R_A = 19,75 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 53,75 kN (T), BC: 53,75 kN (T), CD: 51,25 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 76,01 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 26,52 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −51,43 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 − 5·2 → C_y = 46 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 46 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −46/0,8944 = −51,43 kN

Odpowiedź

F_BC = −51,43 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 4,471 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(3,3² + 2,5²) = 4,14 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/4,14)·6 = 12·1,35

F_BC = 4,471 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 4,471 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 1,59 kN

Kierunek BC

BC = 3,945 m, cos = 0,8619, sin = 0,507

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,507·4 = 20·0,24 + 3·2

F_BC = 5,325 kN

Bilans poziomy

A_x + 3 − 5,325·0,8619 = 0

A_x = 1,59 kN → |A_x| = 1,59 kN

Odpowiedź

A_x = 1,59 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 12 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 24 − 8·1,5 = 12 kN

Odpowiedź

V_x = 12 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 28,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 4·6·3

R_B = 132/6 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 22 = 17 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 17·4,5 − 15·(4,5 − 4) − 4·4,5·2,25 = 28,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 28,5 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 5,098 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

środnik: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·145 + 1120·70)/2320 = 108,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·10³/12 + 1200·(145 − 108,8)² = 1,583 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·140³/12 + 1120·(70 − 108,8)² = 3,515 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,583 × 10⁶ + 3,515 × 10⁶ = 5,098 × 10⁶ mm⁴ = 5,098 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 5,098 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 229,6 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (48000·120 − 600·156)/(48000 − 600) = 119,5 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·240³/12 + 48000·0,4557² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

30·20³/12 + 600·36,46² = 0,8174 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 229,6 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 229,6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics