Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (25, 10, −25) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(−5, −5, 2) do punktu B(4, −2, 2). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (25, 10, −25) NA(−5, −5, 2) mB(4, −2, 2) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (0, 2, −4), b = (2, 2, −1) i c = (1, 1, 1).

a = (0, 2, −4)b = (2, 2, −1)c = (1, 1, 1)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN w 1,5 mP₂ = 45 kN w 2,5 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 45° do poziomu, a w odległości 0,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 5 mP = 25 kN w 2,5 m, θ = 45°Q = 75 kN w 0,5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 50 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 8 m, a B leży 2 m nad podłożem i 4,8 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 1,92 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 15 kNL = 8 mH = 2 modległość pozioma od A do B = 4,8 modległość pozioma od A do K = 1,92 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 5 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 1,2 m. W punkcie C działa pozioma siła 2 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 2 kNAB = 5 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1,2 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP₁ = 35 kN w 4 mP₂ = 20 kN w 4,5 m

M_max = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP = 70 kN w 6 mw = 6 kN/m od 0 do 8 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = 255 J

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (4, −2, 2) − (−5, −5, 2) = (9, 3, 0) m

Praca

W = F·d = 25·9 + 10·3 + (−25)·0 = 255 J

Odpowiedź

W = 255 J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 6

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·1 − (−1)·1 = 3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·1 − 2·1 = −3

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·1 − 2·1 = 0

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 0·3 + 2·(−3) + (−4)·0 = −6

V = |−6| = 6

Odpowiedź

V = 6

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 25,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,5 + 45·2,5

R_B = 127,5/5 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 25,5 = 29,5 kN

Odpowiedź

R_B = 25,5 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 78,36 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 25·sin 45° = 17,68 kN

P_h = 25·cos 45° = 17,68 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·5 = 17,68·2,5 + 75·0,5 → R_B = 16,34 kN

A_y = 17,68 + 75 − 16,34 = 76,34 kN

A_x = P_h = 17,68 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(17,68² + 76,34²) = 78,36 kN

Odpowiedź

R_A = 78,36 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 10 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·4 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 40 = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0,9701 = −41,23 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41,23)·0,2425 = 10 kN

Odpowiedź

F_AC = 10 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −7,289 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·3 − 25·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 3,75 = 31,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,5145 = −7,289 kN

Odpowiedź

F_BC = −7,289 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 6,792 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(3,2² + 2²) = 3,774 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2/3,774)·8 = 15·1,92

F_BC = 6,792 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 6,792 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 1,667 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·5 = 2·3

B_y = 1,2 kN

Noga BC: momenty względem C

1,2·2,5 = T·1,8

T = 1,667 kN

Odpowiedź

T = 1,667 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 66,67 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4 + 20·4,5

R_B = 230/6 = 38,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 38,33 = 16,67 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·4 = 16,67·4 = 66,67 kN·m

pod P₂: M = R_B·1,5 = 38,33·1,5 = 57,5 kN·m

Największa wartość

M_max = 66,67 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 66,67 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 141 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·6 + 6·8·4

R_B = 612/8 = 76,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 118 − 76,5 = 41,5 kN

Gdzie V = 0?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 5,5 kN

V(6⁺) = 5,5 − 70 = −64,5 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 41,5·6 − 6·6²/2 = 141 kN·m

Odpowiedź

M_max = 141 kN·m

Występuje w x = 6 m od A.

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 54,41 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

środnik: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·235 + 3520·110)/12520 = 199,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·30³/12 + 9000·(235 − 199,9)² = 1,179 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·220³/12 + 3520·(110 − 199,9)² = 4,262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,179 × 10⁷ + 4,262 × 10⁷ = 5,441 × 10⁷ mm⁴ = 54,41 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 54,41 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 297,5 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

środnik: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·145 + 2520·70)/4520 = 103,2 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·10³/12 + 2000·(145 − 103,2)² = 3,514 × 10⁶ mm⁴

środnik: 18·140³/12 + 2520·(70 − 103,2)² = 6,891 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,514 × 10⁶ + 6,891 × 10⁶ = 1,04 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 103,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·103,2/1,04 × 10⁷ = 297,5 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 297,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics