Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−3, −3, −2) i b = (k, 1, −4) są prostopadłe.

a = (−3, −3, −2)b = (k, 1, −4)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (4, 5, 0) i b = (−1, 5, 3) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową y, czyli n̂_y.

a = (4, 5, 0)b = (−1, 5, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 6 kN/m w B. W odległości 8 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 80 kN w 8 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1,5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 2,5 m do swobodnego końca w 4 m. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3 mAC = 4 mP = 30 kN w 1,5 mw = 2 kN/m od 2,5 do 4 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 25 kNobciążenie poziome = 5 kN →

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana dźwignia kątowa obraca się wokół sworznia O. Pionowa siła 100 N w punkcie A (300 mm od O) jest równoważona poziomą siłą w punkcie B (120 mm nad O). Wyznacz wartość reakcji w sworzniu F_O.

F = 100 NOA = 300 mmOB = 120 mm

F_O = N

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 5 m, a B leży 2,5 m wysoko i 0,75 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 8 kN w punkcie K, w odległości 0,5625 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 8 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 8 kNQ = 8 kNL = 5 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 0,75 modległość pozioma od A do K = 0,5625 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 10 kN/m od 0 do 4 mx = 1,5 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

50 kN @ 0 m50 kN @ 6 m20 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 300 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 180 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 210 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 300 mmwycięcie: 80 × 50 mmśrodek otworu: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = 1,667

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−3)·k + (−3)·1 + (−2)·(−4) = 0

5 + (−3)·k = 0

Wyznacz k

k = −5/(−3) = 1,667

Odpowiedź

k = 1,667

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_y = −0,3806

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·3 − 0·5 = 15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−1) − 4·3 = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·5 − 5·(−1) = 25

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest już dodatnia.

|a × b| = √(15² + (−12)² + 25²) = 31,53

n̂ = (15, −12, 25)/31,53 = (0,4758, −0,3806, 0,793)

n̂_y = −0,3806

Odpowiedź

n̂_y = −0,3806

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 84 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·6,667 + 80·8

R_B = 84 kN

R_A = 110 − 84 = 26 kN

Odpowiedź

R_B = 84 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 18,25 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 2·1,5 = 3 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 30·1,5 + 3·3,25

R_B = 54,75/3 = 18,25 kN

R_A = 33 − 18,25 = 14,75 kN

Odpowiedź

R_B = 18,25 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 4,688 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9701 = −19,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,33)·0,2425 = 4,688 kN

Odpowiedź

F_AC = 4,688 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 20 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 + 5·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 10 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,4472 = −22,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,36)·0,8944 = 20 kN

Odpowiedź

F_AC = 20 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_O = 269,3 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Siła w B

Q = 100·300/120 = 250 N

Reakcja w sworzniu

O_x = 250 N, O_y = 100 N

F_O = √(250² + 100²) = 269,3 N

Odpowiedź

F_O = 269,3 N

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 0,33 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Kierunek BC

BC = 4,931 m, cos = 0,8619, sin = 0,507

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,507·5 = 8·0,5625 + 8·2,5

F_BC = 9,664 kN

Bilans poziomy

A_x + 8 − 9,664·0,8619 = 0

A_x = 0,33 kN → |A_x| = 0,33 kN

Odpowiedź

A_x = 0,33 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 5 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 20 − 10·1,5 = 5 kN

Odpowiedź

V_x = 5 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 52 kN, R₂ = 92 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −52, M_D = −62, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −100 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·150 − 1963·180)/(30000 − 1963) = 147,9 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·300³/12 + 30000·2,101² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 320,9 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (45000·150 − 4000·210)/(45000 − 4000) = 144,1 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·300³/12 + 45000·5,854² = 339 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

80·50³/12 + 4000·65,85² = 18,18 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 320,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 320,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics