Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (5, −5, 2) i b = (4, −4, −3).

a = (5, −5, 2)b = (4, −4, −3)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(2, −1, 2), B(4, −4, 4) i C(4, 0, 1). Współrzędne podano w metrach.

A(2, −1, 2)B(4, −4, 4)C(4, 0, 1)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP₁ = 20 kN w 1,5 mP₂ = 30 kN w 4 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mP = 10 kN w 2 mw = 3 kN/m od 4 do 6 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 3 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 0,45 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,3375 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 8 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 8 kNL = 3 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 0,45 modległość pozioma od A do K = 0,3375 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,5 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,125 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 20 kNAB = 3 mwysokość C = 2,5 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 1,125 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

15 kN @ 1 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 60 kN w 3 mw = 4 kN/m od 0 do 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 150 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 45 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 100 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 72 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 240 mmwycięcie: 50 × 40 mmśrodek otworu: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = 34

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = 5·4 + (−5)·(−4) + 2·(−3) = 20 + 20 + (−6) = 34

Odpowiedź

a·b = 34

Dodatni: kąt między wektorami jest mniejszy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 5,025 m²

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (2, −3, 2)

AC = C − A = (2, 1, −1)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·(−1) − 2·1 = 1

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·2 − 2·(−1) = 6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·1 − (−3)·2 = 8

|AB × AC| = √(1² + 6² + 8²) = 10,05

Pole trójkąta

A = ½·10,05 = 5,025 m²

Odpowiedź

A = 5,025 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 20 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 30·4

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 30 = 20 kN

Odpowiedź

R_A = 20 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 9,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 3·2·5

R_B = 50/8 = 6,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 6,25 = 9,75 kN

Odpowiedź

R_A = 9,75 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 40 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·4 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 40 = 20 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0,7071 = −56,57 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−56,57)·0,7071 = 40 kN

Odpowiedź

F_AC = 40 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −38,28 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 − 5·4 → C_y = 14,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 14,38 = 30,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30,63/0,8 = −38,28 kN

Odpowiedź

F_AB = −38,28 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 1,286 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(2,55² + 2,5²) = 3,571 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/3,571)·3 = 8·0,3375

F_BC = 1,286 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 1,286 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 10,61 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 20·1,125/3 = 7,5 kN

Siła w ściągu

T = 7,5·1,5/1,5 = 7,5 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 7,5 kN, C_y = −7,5 kN

C = √(7,5² + 7,5²) = 10,61 kN

Odpowiedź

C = 10,61 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 40 kN, R₂ = 30 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 65, M_D = 90 kN·m, M_E = 60, M_F = 30, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 90 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 168 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 4·10·5

R_B = 380/10 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 38 = 62 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 62·3 − 4·3·1,5 = 168 kN·m

Odpowiedź

M_x = 168 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 1963·45)/(22500 − 1963) = 77,87 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,868² = 42,37 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−32,87² = 2,428 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 109,9 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (24000·120 − 2000·72)/(24000 − 2000) = 124,4 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·240³/12 + 24000·−4,364² = 115,7 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·40³/12 + 2000·−52,36² = 5,751 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 109,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 109,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics