Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−3, −1, 7) na b = (6, 4, −2), czyli składową a w kierunku b.

a = (−3, −1, 7)b = (6, 4, −2)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A równoległoboku rozpiętego na wektorach a = (3, −4, 1) i b = (3, −4, −6).

a = (3, −4, 1)b = (3, −4, −6)

A =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP₁ = 10 kN w 2,5 mP₂ = 60 kN w 4 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości 8 kN/m przy ścianie, malejące do zera na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 60 kN w 5 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 30 kNobciążenie poziome = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 0,9 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,675 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 15 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 0,9 modległość pozioma od A do K = 0,675 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 2,5 m wysoko i 2,4 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 10 kN w punkcie K, w odległości 0,96 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 2 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 10 kNQ = 2 kNL = 4 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 2,4 modległość pozioma od A do K = 0,96 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP₁ = 45 kN w 4 mP₂ = 30 kN w 10 mpodpory w x = 0 i x = 8 m

M_B = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 15 kN w 2 mw = 6 kN/m od 0 do 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 45 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 30 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 90 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 300 mmwycięcie: 30 × 20 mmśrodek otworu: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −4,811

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−3)·6 + (−1)·4 + 7·(−2) = −36

Długość b

|b| = √(6² + 4² + (−2)²) = 7,483

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −36/7,483 = −4,811

Odpowiedź

comp_b a = −4,811

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 35

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−6) − 1·(−4) = 28

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·3 − 3·(−6) = 21

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−4) − (−4)·3 = 0

Powierzchnia

A = |a × b| = √(28² + 21² + 0²) = 35

Odpowiedź

A = 35

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 25,83 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2,5 + 60·4

R_B = 265/6 = 44,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44,17 = 25,83 kN

Odpowiedź

R_A = 25,83 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 385,3 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Moment względem ściany

M_A = W·x̄ + P·a = 32·2,667 + 60·5 = 385,3 kN·m

Odpowiedź

M_A = 385,3 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 11,72 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·5 → C_y = 15,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 15,63 = 9,375 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15,63/0,8 = −19,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,53)·0,6 = 11,72 kN

Odpowiedź

F_AC = 11,72 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −17,79 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·7 − 25·3 → C_y = 16,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 16,88 = 13,13 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,88/0,9487 = −17,79 kN

Odpowiedź

F_BC = −17,79 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 3,834 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(5,1² + 2,5²) = 5,68 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/5,68)·6 = 15·0,675

F_BC = 3,834 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 3,834 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 0,336 kN

Kierunek BC

BC = 2,968 m, cos = 0,5391, sin = 0,8423

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,8423·4 = 10·0,96 + 2·2,5

F_BC = 4,334 kN

Bilans poziomy

A_x + 2 − 4,334·0,5391 = 0

A_x = 0,336 kN → |A_x| = 0,336 kN

Odpowiedź

A_x = 0,336 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −60 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·4 + 30·10

R_B = 480/8 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 60 = 15 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Na wspornik działa tylko P₂, z ramieniem a. Wygina ona belkę nad podporą wypukłością do góry (moment ujemny).

M_B = −P₂·a = −30·2 = −60 kN·m

Odpowiedź

M_B = −60 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 58,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 6·8·4

R_B = 222/8 = 27,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 27,75 = 35,25 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 35,25·2 − 6·2·1 = 58,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 58,5 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 27,42 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (15000·75 − 706,9·45)/(15000 − 706,9) = 76,48 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,484² = 28,16 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−31,48² = 0,7404 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 27,42 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 27,42 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (36000·150 − 600·90)/(36000 − 600) = 151 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,017² = 270 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

30·20³/12 + 600·−61,02² = 2,254 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics