Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−6, 4, −5) na b = (0, −2, −6), czyli składową a w kierunku b.

a = (−6, 4, −5)b = (0, −2, −6)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (0, −30, −40) N działa w punkcie A(0, −2, 2). Współrzędne podano w metrach. Znajdź wartość |M| momentu tej siły względem początek układu O(0, 0, 0).

F = (0, −30, −40) NA(0, −2, 2) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 7 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 40 kN w 6 mP₂ = 40 kN w 10 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 30 kN w 5 mw = 10 kN/m od 0 do 5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 40 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓F: 30 kN →G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 5 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3 m, a poziomy ściąg DE jest 1 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 12 kNAB = 5 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 1 m

C = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Prasa z przegubem kolanowym ma dwa jednakowe ogniwa AB i BC, każde o długości 120 mm między przegubami. Przegub B leży 30 mm nad prostą AC. Jaka siła F skierowana w dół w punkcie B daje poziomą siłę nacisku 2000 N na suwaku C? Pomiń tarcie i ciężary.

Q = 2000 NAB = BC = 120 mmh = 30 mm

F = N

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 35 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 7 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mM₀ = 35 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 7 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 25 kN w 2 mw = 3 kN/m od 0 do 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 100 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 160 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 10 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 100 mmh = 160 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 10 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 3,479

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−6)·0 + 4·(−2) + (−5)·(−6) = 22

Długość b

|b| = √(0² + (−2)² + (−6)²) = 6,325

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 22/6,325 = 3,479

Odpowiedź

comp_b a = 3,479

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: |M| = 140 N·m

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (0, −2, 2) − (0, 0, 0) = (0, −2, 2) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·(−40) − 2·(−30) = 140 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·0 − 0·(−40) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−30) − (−2)·0 = 0 N·m

Długość

|M| = √(140² + 0² + 0²) = 140 N·m

Odpowiedź

|M| = 140 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = −11,43 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 40·6 + 40·10

R_B = 640/7 = 91,43 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 40 + 40 − 91,43 = −11,43 kN

Odpowiedź

R_A = −11,43 kN

R_A jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 34,17 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·5 + 10·5·2,5

R_B = 275/6 = 45,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 45,83 = 34,17 kN

Odpowiedź

R_A = 34,17 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −30,92 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9701 = −30,92 kN

Odpowiedź

F_BC = −30,92 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 77,5 kN (T), BC: 85 kN (T), CD: 85 kN (T), DE: 82,5 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 116,7 kN (C), BF: 22,5 kN (T), CG: 0, DH: 42,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 3,536 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 9,605 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w ściągu z nogi BC

B_y = 6 kN

T = 6·2,5/2 = 7,5 kN

Składowe siły w przegubie na BC

C_x = T = 7,5 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Długość

C = √(7,5² + 6²) = 9,605 kN

Odpowiedź

C = 9,605 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F = 1033 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Kąt ogniwa

sin θ = 30/120 = 0,25, θ = 14,48°

Siła w ogniwie

F_link = Q/cos θ = 2066 N

Siła w B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 1033 N

Odpowiedź

F = 1033 N

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 10,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/10 = 3,5 kN (w górę)

R_A = −R_B = −3,5 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,5·7 + 35 = 10,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 10,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 42,29 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2 + 3·6·3

R_B = 104/6 = 17,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 17,33 = 25,67 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 25,67·2,5 − 25·(2,5 − 2) − 3·2,5·1,25 = 42,29 kN·m

Odpowiedź

M_x = 42,29 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 65 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 100·10 = 1000 mm², y₁ = 5 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1000·5 + 3000·85)/4000 = 65 mm

Odpowiedź

ȳ = 65 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 322,2 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

środnik: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·110 + 800·50)/3600 = 96,67 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·20³/12 + 2800·(110 − 96,67)² = 591111 mm⁴

środnik: 8·100³/12 + 800·(50 − 96,67)² = 2,409 × 10⁶ mm⁴

I_x = 591111 + 2,409 × 10⁶ = 3 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 96,67 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·96,67/3 × 10⁶ = 322,2 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 322,2 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics