W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź kąt θ między wektorami a = (−6, 0, 5) i b = (3, −2, −6), w stopniach.
a = (−6, 0, 5)b = (3, −2, −6)
θ = °
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Dla a = (2, −4, −3) i b = (−6, 3, −6) znajdź składową x, czyli (a × b)x, iloczynu wektorowego a × b.
a = (2, −4, −3)b = (−6, 3, −6)
(a × b)x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 3 mAC = 5 mP1 = 70 kN w 0,5 mP2 = 45 kN w 5 m
RA = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 4 mP = 20 kN w 2,5 mw = 5 kN/m od 1 do 3 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
F: 25 kN →G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4 m, a poziomy ściąg DE jest 2 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 12 kNAB = 2 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 2 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4 m i poziomym ściągiem DE 2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,4 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 10 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 10 kNAB = 3,2 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 2 modległość pozioma od A do K = 0,4 m
C = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 6 mw = 8 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.
L = 4 mw = 24 kN/m od 0 do 3 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Płyta 120 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 60 MPa przy rozciąganiu i 90 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający Mallow, jaki może przenieść belka.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = (−6)·3 + 0·(−2) + 5·(−6) = −48
Długości
|a| = √((−6)² + 0² + 5²) = 7,81
|b| = √(3² + (−2)² + (−6)²) = 7
Kąt
cos θ = −48/(7,81·7) = −0,878
θ = arccos(−0,878) = 151,4°
Odpowiedź
θ = 151,4°
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: (a × b)x = 33
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Iloczyn wektorowy, składowa po składowej
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·(−6) − (−3)·3 = 33
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−6) − 2·(−6) = 30
(a × b)z = axby − aybx = 2·3 − (−4)·(−6) = −18
Żądana składowa
(a × b)x = 33
Odpowiedź
(a × b)x = 33
Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 28,33 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·3 = 70·0,5 + 45·5
RB = 260/3 = 86,67 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 70 + 45 − 86,67 = 28,33 kN
Odpowiedź
RA = 28,33 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 12,5 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2,5 + 5·2·2
RB = 70/4 = 17,5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 17,5 = 12,5 kN
Odpowiedź
RA = 12,5 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FAB = −21,21 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN
Węzeł A
Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0,7071 = −21,21 kN
Odpowiedź
FAB = −21,21 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 6 kN
T = 6·1/2 = 3 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 3 kN, Cy = −By = −6 kN
Długość
C = √(3² + 6²) = 6,708 kN
Odpowiedź
C = 6,708 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: C = 1,601 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Reakcja podpory w B
By = 10·0,4/3,2 = 1,25 kN
Siła w ściągu
T = 1,25·1,6/2 = 1 kN
Siła w przegubie na BC
Cx = 1 kN, Cy = −1,25 kN
C = √(1² + 1,25²) = 1,601 kN
Odpowiedź
C = 1,601 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 36 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 24·3 − 8·3·1,5 = 36 kN·m
Odpowiedź
Mx = 36 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 42,19 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 24·3·1,5
RB = 108/4 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 27 = 45 kN
Zerowa siła tnąca
Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76,13 mm
Pełna płyta względem ȳ
120·150³/12 + 18000·−1,126² = 33,77 × 10⁶ mm⁴
Otwór względem ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−16,13² = 0,4524 × 10⁶ mm⁴
Odejmij
Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
Odpowiedź
Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Mallow = 14,7 kN·m
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.