Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (−2, −6, 7) i b = (7, −6, 4).

a = (−2, −6, 7)b = (7, −6, 4)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (−4, 0, 4), b = (−3, −3, 1) i c = (−1, 4, −4).

a = (−4, 0, 4)b = (−3, −3, 1)c = (−1, 4, −4)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 4 m od A i moment skupiony M działający przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przyłożony w odległości 7 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 8 mP = 55 kN w 4 mM = 30 kN·m (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) w 7 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 4,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 6 mP = 50 kN w 2 m, θ = 30°Q = 75 kN w 4,5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 55 kNobciążenie poziome = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,8 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 8 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 8 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 2 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 1 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 3 mAC = 1 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 0 m15 kN @ 6 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 160 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 70 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 16 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 160 mmh = 70 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = 50

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = (−2)·7 + (−6)·(−6) + 7·4 = (−14) + 36 + 28 = 50

Odpowiedź

a·b = 50

Dodatni: kąt między wektorami jest mniejszy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 92

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·(−4) − 1·4 = 8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−1) − (−3)·(−4) = −13

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·4 − (−3)·(−1) = −15

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = (−4)·8 + 0·(−13) + 4·(−15) = −92

V = |−92| = 92

Odpowiedź

V = 92

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 31,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 55·4 + 30 = 0

R_B = 190/8 = 23,75 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 55 − 23,75 = 31,25 kN

Odpowiedź

R_A = 31,25 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 55,94 kN

Składowe P

P_v = 50·sin 30° = 25 kN

P_h = 50·cos 30° = 43,3 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2 + 75·4,5 → R_B = 64,58 kN

A_y = 25 + 75 − 64,58 = 35,42 kN

A_x = P_h = 43,3 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(43,3² + 35,42²) = 55,94 kN

Odpowiedź

R_A = 55,94 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 8,333 kN (T), BC: 16,67 kN (T), CD: 16,67 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 8,333 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 10,42 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 6,25 kN (C), BG: 10,42 kN (C), DG: 10,42 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −22,22 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 − 10·3 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,33 = 41,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,33/0,6 = −22,22 kN

Odpowiedź

F_BC = −22,22 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 20,1 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 8·2/(0,4472·1,6) = 22,36 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 20 kN (w stronę ściany)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −2 kN

Długość

A = √(20² + −2²) = 20,1 kN

Odpowiedź

A = 20,1 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 22,14 kN

Kąt liny

BC = √(3² + 1²) = 3,162 m, sin β = 0,3162

Momenty względem A

T·0,3162·3 = 6·3 + 2·1,5

T = 22,14 kN

Odpowiedź

T = 22,14 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 16,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Przetnij w x = 5,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 36·5,5 − 12·5,5·2,75 = 16,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 16,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 30 kN, R₂ = 20 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −25 kN·m, M_C = −20, M_D = −15, M_E = −10, M_F = −15, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −25 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 1,738 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 160·16 = 2560 mm², y₁ = 8 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·16·54 = 1728 mm², y₂ = 16 + 54/2 = 43 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2560·8 + 1728·43)/4288 = 22,1 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 160·16³/12 + 2560·(8 − 22,1)² = 563890 mm⁴

dwa ramiona: 2·16·54³/12 + 1728·(43 − 22,1)² = 1,174 × 10⁶ mm⁴

I_x = 563890 + 1,174 × 10⁶

I_x = 1,738 × 10⁶ mm⁴ = 1,738 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 1,738 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 6,703 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

środnik: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·307,5 + 3000·150)/6300 = 232,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·15³/12 + 3300·(307,5 − 232,5)² = 1,862 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·300³/12 + 3000·(150 − 232,5)² = 4,292 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,862 × 10⁷ + 4,292 × 10⁷ = 6,154 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 315 − 232,5 = 82,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·82,5/6,154 × 10⁷ = 6,703 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 6,703 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics