Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−3, 2, 4) na b = (−5, 6, 1), czyli składową a w kierunku b.

a = (−3, 2, 4)b = (−5, 6, 1)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (−4, 3, −2) i b = (1, 4, −2) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową y, czyli n̂_y.

a = (−4, 3, −2)b = (1, 4, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 15 kN w 2 mP₂ = 45 kN w 3 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP = 55 kN w 2,5 mw = 8 kN/m od 1 do 5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 5 kN →

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2 m nad podłożem i 0,9 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,36 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 4 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 4 kNL = 6 mH = 2 modległość pozioma od A do B = 0,9 modległość pozioma od A do K = 0,36 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 2 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 1,5 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 6 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 1,5 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 8 kN/m od 0 do 4 mx = 1 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mw = 6 kN/m od 2 do 4 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 200 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 190 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 200 mmh = 190 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 140 × 14 mm, środnik o wysokości 370 mm i grubości 10 mm oraz półkę dolną 170 × 22 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 140 × 14 mmśrodnik: 10 × 370 mmpółka dolna: 170 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 3,937

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−3)·(−5) + 2·6 + 4·1 = 31

Długość b

|b| = √((−5)² + 6² + 1²) = 7,874

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 31/7,874 = 3,937

Odpowiedź

comp_b a = 3,937

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_y = 0,4637

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−2) − (−2)·4 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·1 − (−4)·(−2) = −10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·4 − 3·1 = −19

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √(2² + (−10)² + (−19)²) = 21,56

n̂ = −(2, −10, −19)/21,56 = (−0,09275, 0,4637, 0,8811)

n̂_y = 0,4637

Odpowiedź

n̂_y = 0,4637

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 27,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2 + 45·3

R_B = 165/6 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 27,5 = 32,5 kN

Odpowiedź

R_B = 27,5 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 40,3 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2,5 + 8·4·3

R_B = 233,5/5 = 46,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 46,7 = 40,3 kN

Odpowiedź

R_A = 40,3 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 10,94 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·1 → C_y = 3,125 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 3,125 = 21,88 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,125/0,2747 = −11,38 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,38)·0,9615 = 10,94 kN

Odpowiedź

F_AC = 10,94 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 5 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 + 5·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 20 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,9701 = −20,62 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,62)·0,2425 = 5 kN

Odpowiedź

F_AC = 5 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 0,6574 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(5,1² + 2²) = 5,478 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2/5,478)·6 = 4·0,36

F_BC = 0,6574 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 0,6574 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 11,67 kN

Kąt liny

BC = √(2² + 1,5²) = 2,5 m, sin β = 0,6

Momenty względem A

T·0,6·2 = 6·2 + 2·1

T = 11,67 kN

Odpowiedź

T = 11,67 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 8 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 16 − 8·1 = 8 kN

Odpowiedź

V_x = 8 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 11,52 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·2·3

R_B = 36/5 = 7,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 7,2 = 4,8 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 4,8/6 = 2,8 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 4,8·2,8 − 6·0,8²/2 = 11,52 kN·m

Odpowiedź

M_max = 11,52 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 67,58 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 200·14 = 2800 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·176 = 4928 mm², y₂ = 14 + 176/2 = 102 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2800·7 + 4928·102)/7728 = 67,58 mm

Odpowiedź

ȳ = 67,58 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 244,8 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1960 mm², y = 399 mm

środnik: A = 3700 mm², y = 207 mm

półka dolna: A = 3740 mm², y = 11 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1960·399 + 3700·207 + 3740·11)/9400 = 169,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 140·14³/12 + 1960·229,9² = 1,037 × 10⁸ mm⁴

środnik: 10·370³/12 + 3700·37,95² = 4,754 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 170·22³/12 + 3740·158,1² = 9,358 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,037 × 10⁸ + 4,754 × 10⁷ + 9,358 × 10⁷

I_x = 2,448 × 10⁸ mm⁴ = 244,8 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 244,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics