Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−2, −5, 4) i b = (−3, 0, k) są prostopadłe.

a = (−2, −5, 4)b = (−3, 0, k)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (−40, −50, 20) N działa w punkcie A(−2, −1, 3). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową y, czyli M_y, momentu tej siły względem początek układu O(0, 0, 0).

F = (−40, −50, 20) NA(−2, −1, 3) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 4 kN/m w A do zera w B. W odległości 6 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 55 kN w 6 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 55 kN w 2,5 mw = 6 kN/m od 4 do 5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 55 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 6 m, a B leży 2,5 m nad podłożem i 2,7 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 1,35 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 5 kNL = 6 mH = 2,5 modległość pozioma od A do B = 2,7 modległość pozioma od A do K = 1,35 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 8 m, a B leży 2 m wysoko i 2,4 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 8 kN w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 2 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 8 kNQ = 2 kNL = 8 mH = 2 modległość pozioma od A do B = 2,4 modległość pozioma od A do K = 0,6 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 1 m10 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP = 50 kN w 1,5 mw = 4 kN/m od 0 do 5 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 200 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 52,5 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 150 mmwycięcie: 50 × 20 mmśrodek otworu: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = −1,5

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = (−2)·(−3) + (−5)·0 + 4·k = 0

6 + 4·k = 0

Wyznacz k

k = −6/4 = −1,5

Odpowiedź

k = −1,5

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: M_y = −80 N·m

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (−2, −1, 3) − (0, 0, 0) = (−2, −1, 3) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·20 − 3·(−50) = 130 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−40) − (−2)·20 = −80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−50) − (−1)·(−40) = 60 N·m

Żądana składowa

M_y = −80 N·m

Odpowiedź

M_y = −80 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 46,58 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·2,667 + 55·6

R_B = 46,58 kN

R_A = 71 − 46,58 = 24,42 kN

Odpowiedź

R_B = 46,58 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 33,58 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2,5 + 6·1·4,5

R_B = 164,5/6 = 27,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 27,42 = 33,58 kN

Odpowiedź

R_A = 33,58 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −45,35 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·4 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 44 = 11 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44/0,9701 = −45,35 kN

Odpowiedź

F_BC = −45,35 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −49,19 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·1 − 20·2 → C_y = 1 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 1 = 44 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −44/0,8944 = −49,19 kN

Odpowiedź

F_AB = −49,19 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 1,863 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(3,3² + 2,5²) = 4,14 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2,5/4,14)·6 = 5·1,35

F_BC = 1,863 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 1,863 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 1,08 kN

Kierunek BC

BC = 5,946 m, cos = 0,9417, sin = 0,3363

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,3363·8 = 8·0,6 + 2·2

F_BC = 3,271 kN

Bilans poziomy

A_x + 2 − 3,271·0,9417 = 0

A_x = 1,08 kN → |A_x| = 1,08 kN

Odpowiedź

A_x = 1,08 kN

A_x jest skierowane w prawo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 17,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 47,5 kN·m, M_C = 40, M_D = 32,5, M_E = 25, M_F = 17,5, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = 47,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 63 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 4·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 25 = 45 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 39 kN

V(1,5⁺) = 39 − 50 = −11 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 45·1,5 − 4·1,5²/2 = 63 kN·m

Odpowiedź

M_max = 63 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 129,7 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (40000·100 − 1963·60)/(40000 − 1963) = 102,1 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·200³/12 + 40000·−2,065² = 133,5 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−42,06² = 3,781 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 129,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 129,7 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 33,18 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (18000·75 − 1000·52,5)/(18000 − 1000) = 76,32 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,324² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·20³/12 + 1000·−23,82² = 0,6009 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 33,18 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 33,18 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics