Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (25, −30, −5) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(−2, 2, 5) do punktu B(1, −3, 5). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (25, −30, −5) NA(−2, 2, 5) mB(1, −3, 5) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (−6, −6, 5) i b = (4, −6, −2) znajdź składową x, czyli (a × b)_x, iloczynu wektorowego a × b.

a = (−6, −6, 5)b = (4, −6, −2)

(a × b)_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 75 kN w 1,5 mP₂ = 40 kN w 6 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mP = 50 kN w 4 mw = 3 kN/m od 3 do 5 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 45 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 45 kNobciążenie poziome = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,6 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 4 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 4 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1,5 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 1 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 5 kNW_b = 1,5 kNAB = 6 mAC = 1 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7,5 mP₁ = 75 kN w 4,5 mP₂ = 45 kN w 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_B = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 0 m45 kN @ 6 m15 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 280 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 130 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 20 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 280 mmh = 130 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 170 × 18 mm, środnik o wysokości 180 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 290 × 24 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 170 × 18 mmśrodnik: 14 × 180 mmpółka dolna: 290 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = 225 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (1, −3, 5) − (−2, 2, 5) = (3, −5, 0) m

Praca

W = F·d = 25·3 + (−30)·(−5) + (−5)·0 = 225 J

Odpowiedź

W = 225 J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_x = 42

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·(−2) − 5·(−6) = 42

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − (−6)·(−2) = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−6) − (−6)·4 = 60

Żądana składowa

(a × b)_x = 42

Odpowiedź

(a × b)_x = 42

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 26,88 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·1,5 + 40·6

R_B = 352,5/4 = 88,13 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 75 + 40 − 88,13 = 26,88 kN

Odpowiedź

R_A = 26,88 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 44,8 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·4 + 3·2·4

R_B = 224/5 = 44,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 44,8 = 11,2 kN

Odpowiedź

R_B = 44,8 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −33,54 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,8944 = −33,54 kN

Odpowiedź

F_AB = −33,54 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 4,688 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 − 15·4 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 18,75 = 26,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9701 = −19,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,33)·0,2425 = 4,688 kN

Odpowiedź

F_AC = 4,688 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 13,37 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 4·2/(0,3511·1,6) = 14,24 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 13,33 kN (w stronę ściany)

A_y = 4 − F_CD·sin α = −1 kN

Długość

A = √(13,33² + −1²) = 13,37 kN

Odpowiedź

A = 13,37 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 34,98 kN

Kąt liny

BC = √(6² + 1²) = 6,083 m, sin β = 0,1644

Momenty względem A

T·0,1644·6 = 5·6 + 1,5·3

T = 34,98 kN

Odpowiedź

T = 34,98 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −67,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·4,5 + 45·7,5

R_B = 675/6 = 112,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 112,5 = 7,5 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Na wspornik działa tylko P₂, z ramieniem a. Wygina ona belkę nad podporą wypukłością do góry (moment ujemny).

M_B = −P₂·a = −45·1,5 = −67,5 kN·m

Odpowiedź

M_B = −67,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 5 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 56,25 kN, R₂ = 63,75 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −26,25, M_D = −17,5, M_E = −28,75, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt F: M_F = −45 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 15,03 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 280·20 = 5600 mm², y₁ = 10 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·20·110 = 4400 mm², y₂ = 20 + 110/2 = 75 mm

Środek ciężkości

ȳ = (5600·10 + 4400·75)/10000 = 38,6 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 280·20³/12 + 5600·(10 − 38,6)² = 4,767 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·20·110³/12 + 4400·(75 − 38,6)² = 1,027 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,767 × 10⁶ + 1,027 × 10⁷

I_x = 1,503 × 10⁷ mm⁴ = 15,03 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 15,03 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 96,42 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 3060 mm², y = 213 mm

środnik: A = 2520 mm², y = 114 mm

półka dolna: A = 6960 mm², y = 12 mm

Środek ciężkości

ȳ = (3060·213 + 2520·114 + 6960·12)/12540 = 81,55 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 170·18³/12 + 3060·131,5² = 5,296 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·180³/12 + 2520·32,45² = 9,458 × 10⁶ mm⁴

półka dolna: 290·24³/12 + 6960·69,55² = 3,4 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,296 × 10⁷ + 9,458 × 10⁶ + 3,4 × 10⁷

I_x = 9,642 × 10⁷ mm⁴ = 96,42 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 96,42 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics