Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (3, 2, −1) i b = (6, −6, 7).

a = (3, 2, −1)b = (6, −6, 7)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (0, 3, −2), b = (3, −1, −1) i c = (3, −4, 2).

a = (0, 3, −2)b = (3, −1, −1)c = (3, −4, 2)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 8 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 10 mP = 10 kN w 8 mw = 2 kN/m od 0 do 10 m

M_A = kN·m

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP = 45 kN w 5 mw = 12 kN/m od 4 do 5 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,6 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 15 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 15 kNAD = 1,6 mAB = 4 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 3 m, a B leży 3 m wysoko i 1,35 m na prawo od A. Pręt AB niesie pionowe obciążenie 4 kN w punkcie K, w odległości 0,675 m (w poziomie) od A, oraz poziome obciążenie 10 kN skierowane w prawo, działające w B na pręt AB. Wyznacz wartość poziomej reakcji A_x w A.

P = 4 kNQ = 10 kNL = 3 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 1,35 modległość pozioma od A do K = 0,675 m

A_x = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 1 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5,5 mw = 8 kN/m od 0 do 5,5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

M_B = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 300 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 140 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 300 mmh = 140 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 140 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 200 mmwycięcie: 50 × 20 mmśrodek otworu: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = −1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = 3·6 + 2·(−6) + (−1)·7 = 18 + (−12) + (−7) = −1

Odpowiedź

a·b = −1

Ujemny: kąt między wektorami jest większy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 9

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·2 − (−1)·(−4) = −6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·3 − 3·2 = −9

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·(−4) − (−1)·3 = −9

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 0·(−6) + 3·(−9) + (−2)·(−9) = −9

V = |−9| = 9

Odpowiedź

V = 9

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 180 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m

Moment względem ściany

M_A = P·a + W·x̄ = 10·8 + 20·5 = 180 kN·m

Odpowiedź

M_A = 180 kN·m

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 46,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·5 + 12·1·4,5

R_B = 279/6 = 46,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 46,5 = 10,5 kN

Odpowiedź

R_B = 46,5 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −24,46 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·1 → C_y = 3,125 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 3,125 = 21,88 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21,88/0,8944 = −24,46 kN

Odpowiedź

F_AB = −24,46 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = 12,5 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·1 − 15·4 → C_y = −10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −10 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−10/0,8 = 12,5 kN

Odpowiedź

F_BC = 12,5 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 102,5 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 15·4/(0,3511·1,6) = 106,8 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 100 kN (w stronę ściany)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −22,5 kN

Długość

A = √(100² + −22,5²) = 102,5 kN

Odpowiedź

A = 102,5 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A_x = 4,005 kN

Kierunek BC

BC = 3,424 m, cos = 0,4819, sin = 0,8762

Cała rama: momenty względem A

F_BC·0,8762·3 = 4·0,675 + 10·3

F_BC = 12,44 kN

Bilans poziomy

A_x + 10 − 12,44·0,4819 = 0

A_x = −4,005 kN → |A_x| = 4,005 kN

Odpowiedź

A_x = 4,005 kN

Znak minus oznacza, że A_x jest skierowane w lewo.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 36 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 48 − 12·1 = 36 kN

Odpowiedź

V_x = 36 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −9 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5,5 = 44 kN, przyłożona w x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·5,5·2,75

R_B = 121/4 = 30,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 30,25 = 13,75 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −8·1,5²/2 = −9 kN·m

Odpowiedź

M_B = −9 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 38,96 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 300·14 = 4200 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·126 = 3528 mm², y₂ = 14 + 126/2 = 77 mm

Środek ciężkości

ȳ = (4200·7 + 3528·77)/7728 = 38,96 mm

Odpowiedź

ȳ = 38,96 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 98,31 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·100 − 1000·140)/(30000 − 1000) = 98,62 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·200³/12 + 30000·1,379² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·20³/12 + 1000·41,38² = 1,746 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 98,31 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 98,31 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics