W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź wartość k, dla której wektory a = (−3, 0, 2) i b = (6, −5, k) są prostopadłe.
a = (−3, 0, 2)b = (6, −5, k)
k =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Siła F = (−10, −30, 10) N działa w punkcie A(−2, −2, −4). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową z, czyli Mz, momentu tej siły względem początek układu O(0, 0, 0).
F = (−10, −30, 10) NA(−2, −2, −4) mO(0, 0, 0) m
Mz = N·m
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 60 kN w 2,5 mP2 = 60 kN w 5 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 8 mP = 15 kN w 1 mw = 6 kN/m od 5 do 7 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓H: 20 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 50 kNobciążenie poziome = 30 kN →
FAB = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 6 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.
P = 6 kNAD = 1,2 mAB = 4 mAC = 1 m
A = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 6 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4,5 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 2 m. W punkcie C działa pozioma siła 12 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 12 kNAB = 6 mwysokość C = 4,5 mwysokość DE = 2 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Wyznacz siłę tnącą Vx w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 3,5 m
Vx = kN
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający Mmax między podporami.
L = 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mpodpory w x = 0 i x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.
bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Spawany dwuteownik ma półkę górną 130 × 18 mm, środnik o wysokości 320 mm i grubości 10 mm oraz półkę dolną 160 × 24 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny równa się zero
a·b = (−3)·6 + 0·(−5) + 2·k = 0
−18 + 2·k = 0
Wyznacz k
k = −(−18)/2 = 9
Odpowiedź
k = 9
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: Mz = 40 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Wektor położenia od O do A
r = A − O = (−2, −2, −4) − (0, 0, 0) = (−2, −2, −4) m
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·3,5 = 60·2,5 + 60·5
RB = 450/3,5 = 128,6 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 60 + 60 − 128,6 = −8,571 kN
Odpowiedź
RB = 128,6 kN
RA jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 16,13 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 6·2·6
RB = 87/8 = 10,88 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 10,88 = 16,13 kN
Odpowiedź
RA = 16,13 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł G
FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·6 + 30·2 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 45 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Węzeł A
Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.
sin α = 2/6,325 = 0,3162
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0,3162 = −15,81 kN
Odpowiedź
FAB = −15,81 kN (ściskanie)
7.Ramy i maszyny
Odpowiedź: A = 27,78 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w rozpórce
FCD = 6·4/(0,6402·1,2) = 31,24 kN
Składowe w A
Ax = FCD·cos α = 24 kN (w stronę ściany)
Ay = 6 − FCD·sin α = −14 kN
Długość
A = √(24² + −14²) = 27,78 kN
Odpowiedź
A = 27,78 kN
Ujemne Ay oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 10,8 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By·6 = 12·4,5
By = 9 kN
Noga BC: momenty względem C
9·3 = T·2,5
T = 10,8 kN
Odpowiedź
T = 10,8 kN
Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Vx = −6 kN
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
V = RA − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)
Vx = 36 − 12·3,5 = −6 kN
Odpowiedź
Vx = −6 kN
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 34,56 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm
środnik: Aw = 14·120 = 1680 mm², yw = 120/2 = 60 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na trzy prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka górna: A = 2340 mm², y = 353 mm
środnik: A = 3200 mm², y = 184 mm
półka dolna: A = 3840 mm², y = 12 mm
Środek ciężkości
ȳ = (2340·353 + 3200·184 + 3840·12)/9380 = 155,7 mm