Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź iloczyn skalarny a·b wektorów a = (5, 1, −6) i b = (−3, 4, −1).

a = (5, 1, −6)b = (−3, 4, −1)

a·b =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (−6, 4, 6) i b = (2, 4, −6) znajdź składową y, czyli (a × b)_y, iloczynu wektorowego a × b.

a = (−6, 4, 6)b = (2, 4, −6)

(a × b)_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 9 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 1 m od A. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 10 mP = 50 kN w 9 mM = 20 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 1 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mP = 50 kN w 1 mw = 8 kN/m od 2 do 5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 30 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 4 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 4 kNAD = 2 mAB = 2,4 mAC = 1 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 2 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 8 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.

W = 8 kNW_b = 1 kNAB = 3 mAC = 2 m

A = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 40 kN w 5 mw = 4 kN/m od 0 do 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 9 mw = 8 kN/m od 0 do 9 mpodpory w x = 0 i x = 8 m

x_c = m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 140 mm i średnicę wewnętrzną d = 124 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

D = 140 mmd = 124 mm

r = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: a·b = −5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Pomnóż odpowiadające sobie składowe i dodaj

a·b = 5·(−3) + 1·4 + (−6)·(−1) = (−15) + 4 + 6 = −5

Odpowiedź

a·b = −5

Ujemny: kąt między wektorami jest większy niż 90°.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_y = −24

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−6) − 6·4 = −48

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·2 − (−6)·(−6) = −24

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·4 − 4·2 = −32

Żądana składowa

(a × b)_y = −24

Odpowiedź

(a × b)_y = −24

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 47 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 50·9 − 20 = 0

R_B = 470/10 = 47 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 50 − 47 = 3 kN

Odpowiedź

R_B = 47 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 57,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·1 + 8·3·3,5

R_B = 134/8 = 16,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 16,75 = 57,25 kN

Odpowiedź

R_A = 57,25 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −16,97 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·2 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 12 = 18 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,7071 = −16,97 kN

Odpowiedź

F_BC = −16,97 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −20,96 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·6 − 5·3 → C_y = 20,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 20,63 = 9,375 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/6,708 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9,375/0,4472 = −20,96 kN

Odpowiedź

F_AB = −20,96 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 9,633 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 4·2,4/(0,4472·2) = 10,73 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 9,6 kN (w stronę ściany)

A_y = 4 − F_CD·sin α = −0,8 kN

Długość

A = √(9,6² + −0,8²) = 9,633 kN

Odpowiedź

A = 9,633 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 12,76 kN

Siła w linie

T = (8 + 1/2)/0,5547 = 15,32 kN

Składowe w A

A_x = T·cos β = 12,75 kN

A_y = 8 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Długość

A = √(12,75² + 0,5²) = 12,76 kN

Odpowiedź

A = 12,76 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −112,5 kN·m

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −40·2,5 = −100 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_x = −100 − 12,5 = −112,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = −112,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 7,875 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·9 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·9·4,5

R_B = 324/8 = 40,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 40,5 = 31,5 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·31,5/8 = 7,875 m

Odpowiedź

x_c = 7,875 m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 46,75 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

A = π(D² − d²)/4 = 3318 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,252 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(7,252 × 10⁶/3318) = 46,75 mm

Odpowiedź

r = 46,75 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 98,81 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

środnik: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·212,5 + 4000·100)/8500 = 159,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·25³/12 + 4500·(212,5 − 159,6)² = 1,285 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·200³/12 + 4000·(100 − 159,6)² = 2,752 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,285 × 10⁷ + 2,752 × 10⁷ = 4,037 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 159,6 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·159,6/4,037 × 10⁷ = 98,81 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 98,81 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics