Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (6, −1, 4) na b = (2, 4, −3), czyli składową a w kierunku b.

a = (6, −1, 4)b = (2, 4, −3)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Dla a = (1, 5, −6) i b = (−1, −2, −3) znajdź składową z, czyli (a × b)_z, iloczynu wektorowego a × b.

a = (1, 5, −6)b = (−1, −2, −3)

(a × b)_z =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 45 kN w 1,5 mP₂ = 35 kN w 3 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP = 50 kN w 2 mw = 4 kN/m od 3 do 4 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓D: 25 kN ↓H: 20 kN ↓H: 20 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4 m i poziomym ściągiem DE 1,2 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,5 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 20 kNAB = 2 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 1,2 modległość pozioma od A do K = 0,5 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 2 m. W punkcie C działa pozioma siła 4 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 4 kNAB = 3 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 2 m

T = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 8 kN/m od 0 do 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 15 kN w 3,5 mw = 3 kN/m od 0 do 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 220 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 140 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 8 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 220 mmh = 140 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = −0,7428

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 6·2 + (−1)·4 + 4·(−3) = −4

Długość b

|b| = √(2² + 4² + (−3)²) = 5,385

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = −4/5,385 = −0,7428

Odpowiedź

comp_b a = −0,7428

Ujemny: a ma składową skierowaną przeciwnie do b.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: (a × b)_z = 3

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy, składowa po składowej

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−3) − (−6)·(−2) = −27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−1) − 1·(−3) = 9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−2) − 5·(−1) = 3

Żądana składowa

(a × b)_z = 3

Odpowiedź

(a × b)_z = 3

Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 28,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1,5 + 35·3

R_B = 172,5/6 = 28,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 28,75 = 51,25 kN

Odpowiedź

R_B = 28,75 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 31,2 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 4·1·3,5

R_B = 114/5 = 22,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 22,8 = 31,2 kN

Odpowiedź

R_A = 31,2 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 70 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 76,67 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 76,67 kN (C), AF: 87,5 kN (C), HE: 95,83 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 32,5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 4,167 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 30 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 62,5 kN (C), HE: 62,5 kN (C), BF: 37,5 kN (T), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 1,786 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 20·0,5/2 = 5 kN

Noga BC: momenty względem C

5·1 = T·2,8

T = 1,786 kN

Odpowiedź

T = 1,786 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 4 kN

Cała rama: momenty względem A

B_y·3 = 4·4

B_y = 5,333 kN

Noga BC: momenty względem C

5,333·1,5 = T·2

T = 4 kN

Odpowiedź

T = 4 kN

Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 32 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 24·4 − 8·4·2 = 32 kN·m

Odpowiedź

M_x = 32 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 5,625 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,5 + 3·5·2,5

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18 = 12 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 12·0,5 − 3·0,5·0,25 = 5,625 kN·m

Odpowiedź

M_x = 5,625 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 7,78 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 220·8 = 1760 mm², y₁ = 4 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·8·132 = 2112 mm², y₂ = 8 + 132/2 = 74 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1760·4 + 2112·74)/3872 = 42,18 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 220·8³/12 + 1760·(4 − 42,18)² = 2,575 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·8·132³/12 + 2112·(74 − 42,18)² = 5,205 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,575 × 10⁶ + 5,205 × 10⁶

I_x = 7,78 × 10⁶ mm⁴ = 7,78 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 7,78 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 296,6 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

środnik: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·195 + 2160·90)/5760 = 155,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·30³/12 + 3600·(195 − 155,6)² = 5,851 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·180³/12 + 2160·(90 − 155,6)² = 1,513 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,851 × 10⁶ + 1,513 × 10⁷ = 2,099 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 155,6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·155,6/2,099 × 10⁷ = 296,6 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 296,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics