Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź rzut skalarny comp_b a wektora a = (−6, 6, 0) na b = (−4, 6, −5), czyli składową a w kierunku b.

a = (−6, 6, 0)b = (−4, 6, −5)

comp_b a =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (4, 1, 3), b = (−2, −5, 0) i c = (3, 5, −5).

a = (4, 1, 3)b = (−2, −5, 0)c = (3, 5, −5)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 4 mP₁ = 20 kN w 1 mP₂ = 45 kN w 2 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP = 20 kN w 7 mw = 2 kN/m od 6 do 8 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 40 kN ↓C: 25 kN ↓D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓H: 30 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2,4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2 m, a poziomy ściąg DE jest 1,2 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 5 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 5 kNAB = 2,4 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1,2 m

C = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 0,5 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 1 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.

W = 12 kNW_b = 0,5 kNAB = 6 mAC = 1 m

A = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 2 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 35 kN w 1,5 mw = 3 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 100 × 20 mm, środnik o wysokości 170 mm i grubości 16 mm oraz półkę dolną 250 × 18 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 100 × 20 mmśrodnik: 16 × 170 mmpółka dolna: 250 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: comp_b a = 6,838

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−6)·(−4) + 6·6 + 0·(−5) = 60

Długość b

|b| = √((−4)² + 6² + (−5)²) = 8,775

Rzut skalarny

comp_b a = a·b/|b| = 60/8,775 = 6,838

Odpowiedź

comp_b a = 6,838

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 105

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·(−5) − 0·5 = 25

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·3 − (−2)·(−5) = −10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·5 − (−5)·3 = 5

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 4·25 + 1·(−10) + 3·5 = 105

V = |105| = 105

Odpowiedź

V = 105

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 27,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 45·2

R_B = 110/4 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 27,5 = 37,5 kN

Odpowiedź

R_B = 27,5 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 21 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, przyłożona w x̄ = 7 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 2·2·7

R_B = 168/8 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 21 = 3 kN

Odpowiedź

R_B = 21 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 12,19 kN (T), BC: 24,37 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 36,56 kN (T), FG: 12,19 kN (C), GH: 36,56 kN (C), AF: 20,31 kN (C), HE: 60,94 kN (C), BF: 16,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 20,31 kN (C), DG: 20,31 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 21,56 kN (T), BC: 21,56 kN (T), CD: 23,44 kN (T), DE: 23,44 kN (T), FG: 61,88 kN (C), GH: 61,88 kN (C), AF: 85,94 kN (C), HE: 39,06 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 17,19 kN (T), HC: 14,06 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 4,507 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w ściągu z nogi BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·1,2/0,8 = 3,75 kN

Składowe siły w przegubie na BC

C_x = T = 3,75 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Długość

C = √(3,75² + 2,5²) = 4,507 kN

Odpowiedź

C = 4,507 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 73,5 kN

Siła w linie

T = (12 + 0,5/2)/0,1644 = 74,51 kN

Składowe w A

A_x = T·cos β = 73,5 kN

A_y = 12 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Długość

A = √(73,5² + 0,25²) = 73,5 kN

Odpowiedź

A = 73,5 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 15 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 8·3 − 2·3·1,5 = 15 kN·m

Odpowiedź

M_x = 15 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 49,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 3·6·3

R_B = 106,5/6 = 17,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 17,75 = 35,25 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 30,75 kN

V(1,5⁺) = 30,75 − 35 = −4,25 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 35,25·1,5 − 3·1,5²/2 = 49,5 kN·m

Odpowiedź

M_max = 49,5 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

środnik: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·215 + 2400·100)/10800 = 189,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·30³/12 + 8400·(215 − 189,4)² = 6,116 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·200³/12 + 2400·(100 − 189,4)² = 2,72 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,116 × 10⁶ + 2,72 × 10⁷ = 3,332 × 10⁷ mm⁴ = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 58,66 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 2000 mm², y = 198 mm

środnik: A = 2720 mm², y = 103 mm

półka dolna: A = 4500 mm², y = 9 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2000·198 + 2720·103 + 4500·9)/9220 = 77,73 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 100·20³/12 + 2000·120,3² = 2,9 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·170³/12 + 2720·25,27² = 8,288 × 10⁶ mm⁴

półka dolna: 250·18³/12 + 4500·68,73² = 2,138 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,9 × 10⁷ + 8,288 × 10⁶ + 2,138 × 10⁷

I_x = 5,866 × 10⁷ mm⁴ = 58,66 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 58,66 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics