Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (1, 5, 5) i b = (4, −4, 0), w stopniach.

a = (1, 5, 5)b = (4, −4, 0)

θ = °

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (−1, 3, −3) i b = (4, −4, −5) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową x, czyli n̂_x.

a = (−1, 3, −3)b = (4, −4, −5)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 12 kN/m w B. W odległości 3,5 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 65 kN w 3,5 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 4 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD i siłę skupioną Q w odległości 2 m od A. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 3 mAD = 8 mP = 70 kN w 4 mw = 8 kN/m od 3 do 8 mQ = 60 kN w 2 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

W pokazanym zacisku z przegubem kolanowym dwa jednakowe ogniwa AB i BC są połączone przegubem w B, a każde tworzy kąt 5° z prostą AC. W punkcie B przyłożono siłę 200 N skierowaną w dół. Suwak C naciska na obrabiany element. Pomijając tarcie i ciężary, wyznacz poziomą siłę docisku Q.

F = 200 Nθ = 5°

Q = N

8.Ramy i maszynyTrudny

Prasa z przegubem kolanowym ma dwa jednakowe ogniwa AB i BC, każde o długości 80 mm między przegubami. Przegub B leży 25 mm nad prostą AC. Jaka siła F skierowana w dół w punkcie B daje poziomą siłę nacisku 2000 N na suwaku C? Pomiń tarcie i ciężary.

Q = 2000 NAB = BC = 80 mmh = 25 mm

F = N

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP₁ = 35 kN w 3 mP₂ = 35 kN w 4 m

M_max = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7,5 mw = 4 kN/m od 0 do 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_B = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 140 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 190 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 8 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 140 mmh = 190 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 25 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 113,3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = 1·4 + 5·(−4) + 5·0 = −16

Długości

|a| = √(1² + 5² + 5²) = 7,141

|b| = √(4² + (−4)² + 0²) = 5,657

Kąt

cos θ = −16/(7,141·5,657) = −0,3961

θ = arccos(−0,3961) = 113,3°

Odpowiedź

θ = 113,3°

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_x = 0,8208

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−5) − (−3)·(−4) = −27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·4 − (−1)·(−5) = −17

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−4) − 3·4 = −8

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest ujemna, więc użyj −(a × b).

|a × b| = √((−27)² + (−17)² + (−8)²) = 32,89

n̂ = −(−27, −17, −8)/32,89 = (0,8208, 0,5168, 0,2432)

n̂_x = 0,8208

Odpowiedź

n̂_x = 0,8208

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 16,13 kN

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2,667 + 65·3,5

R_B = 72,88 kN

R_A = 89 − 72,88 = 16,13 kN

Odpowiedź

R_A = 16,13 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 348 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 8·5 = 40 kN w 2,5 m od C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 70·1 + 40·2,5

R_D = 34 kN

V_C = 110 − 34 = 76 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 60 + 76 = 136 kN

M_A = 60·2 + 76·3 = 348 kN·m

Odpowiedź

M_A = 348 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 23,44 kN (T), BC: 24,37 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 25,31 kN (T), FG: 23,44 kN (C), GH: 25,31 kN (C), AF: 39,06 kN (C), HE: 42,19 kN (C), BF: 1,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 1,563 kN (C), DG: 1,563 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 1,25 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 12,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 21,25 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 30,05 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 21,25 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (C), BG: 15,91 kN (C), DG: 15,91 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: Q = 1143 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Równowaga przegubu B

2·F_link·sin 5° = 200

F_link = 1147 N

Siła docisku

Q = F_link·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N

Odpowiedź

Q = 1143 N

Stosunek sił Q/F = 5,715 rośnie bez ograniczeń, gdy ogniwa się prostują.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F = 1316 N

Kąt ogniwa

sin θ = 25/80 = 0,3125, θ = 18,21°

Siła w ogniwie

F_link = Q/cos θ = 2105 N

Siła w B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 1316 N

Odpowiedź

F = 1316 N

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 63 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 35·4

R_B = 245/5 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 49 = 21 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·3 = 21·3 = 63 kN·m

pod P₂: M = R_B·1 = 49·1 = 49 kN·m

Największa wartość

M_max = 63 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 63 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −4,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·7,5·3,75

R_B = 112,5/6 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −4·1,5²/2 = −4,5 kN·m

Odpowiedź

M_B = −4,5 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 15,34 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·8·182 = 2912 mm², y₂ = 8 + 182/2 = 99 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1120·4 + 2912·99)/4032 = 72,61 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 140·8³/12 + 1120·(4 − 72,61)² = 5,278 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·8·182³/12 + 2912·(99 − 72,61)² = 1,007 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,278 × 10⁶ + 1,007 × 10⁷

I_x = 1,534 × 10⁷ mm⁴ = 15,34 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 15,34 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 27,52 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

środnik: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·250 + 3840·120)/9440 = 197,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·20³/12 + 5600·(250 − 197,1)² = 1,585 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·240³/12 + 3840·(120 − 197,1)² = 4,127 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,585 × 10⁷ + 4,127 × 10⁷ = 5,712 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 260 − 197,1 = 62,88 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·62,88/5,712 × 10⁷ = 27,52 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 27,52 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics