W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź rzut skalarny compb a wektora a = (6, −6, 1) na b = (4, −3, 6), czyli składową a w kierunku b.
a = (6, −6, 1)b = (4, −3, 6)
compb a =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Dla a = (−6, −1, −5) i b = (−5, 3, −6) znajdź składową y, czyli (a × b)y, iloczynu wektorowego a × b.
a = (−6, −1, −5)b = (−5, 3, −6)
(a × b)y =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 12 kN/m w B. W odległości 2 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 10 mw0 = 12 kN/mP = 25 kN w 2 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (3 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 7 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD i siłę skupioną Q w odległości 2 m od A. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.
AC = 3 mAD = 8 mP = 15 kN w 7 mw = 10 kN/m od 3 do 8 mQ = 70 kN w 2 m
MA = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓G: 20 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 55 kNobciążenie poziome = 10 kN →
FAC = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3 m, a poziomy ściąg DE jest 0,8 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 10 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 10 kNAB = 3,2 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 0,8 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 3 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 3 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 8 kN. Wyznacz siłę T w linie.
W = 8 kNWb = 3 kNAB = 2 mAC = 3 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 60 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 9 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 10 mM0 = 60 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 9 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający Mmax między podporami.
L = 7 mw = 5 kN/m od 0 do 7 mpodpory w x = 0 i x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Płyta 100 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 130 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Płyta 100 mm × 300 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 40 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 180 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 100 mmh = 300 mmwycięcie: 40 × 30 mmśrodek otworu: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Roztwory
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: compb a = 6,146
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Iloczyn skalarny
a·b = 6·4 + (−6)·(−3) + 1·6 = 48
Długość b
|b| = √(4² + (−3)² + 6²) = 7,81
Rzut skalarny
compb a = a·b/|b| = 48/7,81 = 6,146
Odpowiedź
compb a = 6,146
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: (a × b)y = −11
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 45 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Wypadkowa obciążenia trójkątnego
W = ½·12·10 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·10 = 60·6,667 + 25·2
RB = 45 kN
RA = 85 − 45 = 40 kN
Odpowiedź
RB = 45 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: MA = 224 kN·m
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.
Część CD
W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.
W = 10·5 = 50 kN w 2,5 m od C
ΣMC = 0: RD·5 = 15·4 + 50·2,5
RD = 37 kN
VC = 65 − 37 = 28 kN
Część AC
Siła w przegubie VC działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).
RA = 70 + 28 = 98 kN
MA = 70·2 + 28·3 = 224 kN·m
Odpowiedź
MA = 224 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt DH
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł D
CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 + 10·4 → Cy = 11,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11,88 = 43,13 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 5 kN
T = 5·1,6/2,2 = 3,636 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 3,636 kN, Cy = −By = −5 kN
Długość
C = √(3,636² + 5²) = 6,182 kN
Odpowiedź
C = 6,182 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 11,42 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Kąt liny
BC = √(2² + 3²) = 3,606 m, sin β = 0,8321
Momenty względem A
T·0,8321·2 = 8·2 + 3·1
T = 11,42 kN
Odpowiedź
T = 11,42 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = −54 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.
Reakcje podpór
Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 60/10 = 6 kN (w górę)
RA = −RB = −6 kN (w dół)
Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego
Lewa część zawiera tylko RA.
Mx = RA·a = −6·9 = −54 kN·m
Odpowiedź
Mx = −54 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 11,03 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (20000·100 − 1257·130)/(20000 − 1257) = 97,99 mm
Pełna płyta względem ȳ
100·200³/12 + 20000·2,011² = 66,75 × 10⁶ mm⁴
Otwór względem ȳ
π·40⁴/64 + 1257·32,01² = 1,413 × 10⁶ mm⁴
Odejmij
Ix = 65,33 × 10⁶ mm⁴
Odpowiedź
Ix = 65,33 × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 223,8 × 10⁶ mm⁴
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.
Środek ciężkości
ȳ = (30000·150 − 1200·180)/(30000 − 1200) = 148,8 mm