W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Stała siła F = (−10, 20, −25) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(2, −1, −2) do punktu B(0, −4, 0). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.
F = (−10, 20, −25) NA(2, −1, −2) mB(0, −4, 0) m
W = J
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Dla a = (−2, −2, −4) i b = (3, 5, 4) znajdź składową y, czyli (a × b)y, iloczynu wektorowego a × b.
a = (−2, −2, −4)b = (3, 5, 4)
(a × b)y =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 8 mP1 = 45 kN w 2 mP2 = 40 kN w 6 m
RB = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 4 mP = 30 kN w 1,5 mw = 10 kN/m od 0 do 1 m
RA = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 50 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.
rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 25 kNobciążenie poziome = 30 kN →
FAB = kN
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 6 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3 m, a poziomy ściąg DE jest 0,8 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 12 kNAB = 6 mwysokość C = 3 mwysokość DE = 0,8 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4 m i poziomym ściągiem DE 0,8 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,125 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 15 kNAB = 3 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 0,8 modległość pozioma od A do K = 1,125 m
C = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
15 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający Mmax między podporami.
L = 6,5 mw = 12 kN/m od 0 do 6,5 mpodpory w x = 0 i x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 120 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 130 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz jego moment bezwładności Ix względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 120 mmh = 130 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 30 MPa przy rozciąganiu i 150 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający Mallow, jaki może przenieść belka.
Iloczyn skalarny:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.
Przemieszczenie
d = B − A = (0, −4, 0) − (2, −1, −2) = (−2, −3, 2) m
Praca
W = F·d = (−10)·(−2) + 20·(−3) + (−25)·2 = −90 J
Odpowiedź
W = −90 J
Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: (a × b)y = −4
Iloczyn wektorowy:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to MO = r × F, gdzie r = A − O.
Iloczyn wektorowy, składowa po składowej
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·4 − (−4)·5 = 12
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·3 − (−2)·4 = −4
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·5 − (−2)·3 = −4
Żądana składowa
(a × b)y = −4
Odpowiedź
(a × b)y = −4
Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 41,25 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 40·6
RB = 330/8 = 41,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 41,25 = 43,75 kN
Odpowiedź
RB = 41,25 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 27,5 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, przyłożona w x̄ = 0,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1,5 + 10·1·0,5
RB = 50/4 = 12,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 12,5 = 27,5 kN
Odpowiedź
RA = 27,5 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: FAC = 9,375 kN
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 12,5 = 37,5 kN
Węzeł C
Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.
Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.
Reakcje podpór
Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 + 30·4 → Cy = 29 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 29 = −4 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Węzeł A
Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−4/0,9701 = 4,123 kN
Odpowiedź
FAB = 4,123 kN (rozciąganie)
7.Ramy i maszyny
Odpowiedź: C = 10,15 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 6 kN
T = 6·3/2,2 = 8,182 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 8,182 kN, Cy = −By = −6 kN
Długość
C = √(8,182² + 6²) = 10,15 kN
Odpowiedź
C = 10,15 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: C = 6,212 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Reakcja podpory w B
By = 15·1,125/3 = 5,625 kN
Siła w ściągu
T = 5,625·1,5/3,2 = 2,637 kN
Siła w przegubie na BC
Cx = 2,637 kN, Cy = −5,625 kN
C = √(2,637² + 5,625²) = 6,212 kN
Odpowiedź
C = 6,212 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: D (x = 6 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Reakcje podpór
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
R1 = 31,5 kN, R2 = 31,5 kN
Moment zginający w każdym punkcie
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
MA = 0, MB = 55, MC = 94, MD = 117 kN·m, ME = 94, MF = 55, MG = 0
Odpowiedź
Punkt D: MD = 117 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mmax = 31,05 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6,5 = 78 kN, przyłożona w x̄ = 3,25 m
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na prostokąty
Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.
baza: A1 = 120·14 = 1680 mm², y1 = 7 mm
dwa ramiona: A2 = 2·14·116 = 3248 mm², y2 = 14 + 116/2 = 72 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.